¿Significado intuitivo de límite Supremum?

Question

Estoy tratando de entender la diferencia entre las dos ecuaciones siguientes:

$$\bar{P} = \limsup_{t \to \infty}\frac{1}{t} \sum_{\tau = 0}^{t-1}E\{P[\tau]\} < \infty$$ y $$\bar{P} = \lim_{t \to \infty}\frac{1}{t} \sum_{\tau = 0}^{t-1}E\{P[\tau]\} < \infty$$

donde $\bar{P}$ indica el valor promedio de P y E representa la expectativa. He llegado previamente a través de ecuaciones como el segundo, pero no soy capaz de entender cuándo utilizar las ecuaciones del primer tipo. He leído la definición en Wikipedia Supremum página, pero yo no estoy logrando entender el significado intuitivo de cuándo utilizar qué. El wiki lo define como:

Un conjunto a de números reales (que se muestra como el azul bolas), un conjunto de límites superior de Un (las bolas de color rojo), y el más pequeño de tales límite superior, es decir, el supremum de Una (que se muestra como una red diamond).

Lo que hace un conjunto de límites superiores realmente significa? Pensé límite superior significa que el valor supremo, pero supongo que mi comprensión es deficiente. Por favor alguien puede decirme la diferencia entre los dos y me dan algunos ejemplo fácil de entender para comprender la diferencia entre un límite normal y supremum límite?

Answer 1

Creo que tu pregunta es acerca de la diferencia entre el límite, limsup y sup? Voy a ilustrar las diferencias con un ejemplo. Veamos la secuencia: $$3, 4, -7, 2, 1, 7, 1, -1, 1, -1, 1, -1, 1, -1, 1, -1, \dots$$ (The ellipsis indicates that the terms alternate $+1$ and $-1$ siempre después de los términos que he dado explícitamente.)

La menor cota superior (sup) de este conjunto es de $7$ [EDIT: gracias Sivaram]. Este es el más pequeño número real de que los límites de cada término de arriba. La secuencia no tiene límite. Sin embargo, el$\limsup$$1$.

La definición formal de $\limsup$ es que para cada una de las $N$, se considera que la "cola" de la secuencia, a partir de la $N^\text{th}$ posición. Usted toma el sup de esta cola. Ahora, tomar el límite de $N \rightarrow \infty$. Este límite existe debido a que las secuencias de sup es monótono. (También se permite un límite de $\pm \infty$ hasta la monotonía es suficiente.)

Tenga en cuenta que si el límite de la $a_n$ existe, entonces tenemos $$ \lim a_n = \limsup a_n.$$ This means that in "nice" examples, your two definitions of $\barra P$ son los mismos. Es sólo en los casos con gran cantidad de oscilaciones que la segunda definición no existe, y usted tendrá que usar el primero.

Answer 2

La imagen que tengo en mi cabeza de que el límite de supremum es la siguiente: si $x_n$ es ilimitado, entonces su límite supremum es $\infty$. De lo contrario, el gráfico de los puntos $(n, x_n)$. Coloque un tablón en la parte superior de los puntos, que es infinitamente larga vamos a la derecha, y asegúrese de que la plancha es siempre paralelo a la $x$-eje y que nunca se le permite pasar a través del punto. Inicialmente, la tabla tiene que estar en el supremum de los puntos, pero si se mueve la tabla a la derecha se puede pasar de un supremum, y, a continuación, la tabla puede establecerse en una posición inferior. El límite supremum es el límite de las posiciones que la tabla puede ser como usted se mantenga el deslizamiento a la derecha.

Answer 3

Un límite superior es sólo un número mayor que cualquier elemento del conjunto. Por lo tanto 2 es una cota superior a (0,1). Hay límites de superior más pequeño, así que hay muchos límites superior. El supremum es el más pequeño de estos límites superiores, por lo que el supremum de (0,1) sería 1 como todos los otros límites superior son mayores. Si definimos $f(x)=−x \text{ if } x∈\mathbb{N} \text{ else }0$ allí no es límite, pero hay un lim sup, que es 0.

Answer 4

Creo que la explicación más sencilla sería: limsup (liminf) es el supremum (infimum) conjunto compuesto por todos los límites consecutivas de la secuencia original.