¿Es la verdadera raíz de $x^4+3 x-3$ edificable?

Question

No sé cómo resolver lo siguiente:

Que $\alpha$ sea una raíz real de $f(x)=x^4+3x-3\in Q[x]$. ¿Es un número construible de $\alpha$?

Cualquier ayuda es bienvenida.

Answer 1

He intentado obtener algo de información sobre el grupo de Galois $G$ $f$ (sobre $\mathbb Q$). Resulta que $f$ tiene una raíz $-1$ $\mathbb F_5$ y $f(x)/(x+1)$ es irreducible en $\mathbb F_5[x]$. El grupo $G\subset S_4$ por lo tanto contiene un $3$ ciclo (Frobenius en $p=5$), en particular el orden de $G$ no es una potencia de $2$, por lo que las raíces de $f$ no construible.