Encontrar el límite de $\lim\limits_{x\to0^+}\frac{1}{e} \frac{e- e^ \frac{\ln (1+x)}{x}}{x}$ $x$

Question

Encontrar el límite de $\frac{1}{e} \frac{e- e^ \frac{\ln (1+x)}{x}}{x}$ $x$ enfoques derecho de cero.

La respuesta es $\frac{1}{2}$ pero sigo recibiendo 1. Aquí es lo que tengo:

Como $\lim_{x\to0^+} \frac{\ln (1+x)}{x}$ de forma indeterminada (0/0), podemos aplicar L Hôpitals.

Así que ahora tengo $\lim_{x\to0^+}\frac{1}{e} \frac{e- e^ \frac{1}{1+x}}{x}$, que es también de forma indeterminada (0/0).

Así que por L Hôpitals, $\lim_{x\to0^+}\frac{1}{e} \frac{{- e^ \frac{1}{1+x} \frac{-1}{(1+x)^2}}}{x}$ que es igual a 1.

Pero como dije, la respuesta es $\frac12$. ¿Me puede decir donde salir mal? ¡Gracias!

Answer 1

Se puede aplicar la regla de l'Hopital de esta manera (tenga en cuenta también que el derivado de $\frac{\ln (1+x)}{x}$ parece mal)

$$\color{red}{\lim{x\to0^+}\frac{1}{e} \frac{e- e^ \frac{\ln (1+x)}{x}}{x}= \lim{x\to0^+}\frac{1}{e} \frac{e- e^ \frac{1}{1+x}}{x}}$$

se deben derivar todos los términos como sigue

$$\color{green}{\lim{x\to0^+}\frac{1}{e} \frac{e- e^ \frac{\ln (1+x)}{x}}{x}= \lim{x\to0^+} \frac{- e^ \frac{\ln (1+x)}{x} (\frac{\ln (1+x)}{x})' }{e}}$$

pero parece que no conseguimos una mejor expresión.

Como alternativa tenga en cuenta que

$$\frac{1}{e} \frac{e- e^ \frac{\ln (1+x)}{x}}{x}= \frac{1- e^{\frac{\ln (1+x)}{x}-1}}{\frac{\ln (1+x)}{x}-1}\frac{\frac{\ln (1+x)}{x}-1}{x}= \frac{e^{\frac{\ln (1+x)}{x}-1}-1}{\frac{\ln (1+x)}{x}-1}\frac{x- \ln (1+x) }{x^2}\to1\cdot\frac12=\frac12$$

de hecho

$$\ln (1+x)=x-\frac{x^2}{2}+o(x^2)\implies \frac{x-\ln (1+x) }{x^2}=\frac{x-x+\frac{x^2}{2}+o(x^2) }{x^2}=\frac12+o(1)\to\frac12$$

Answer 2

Dado que

Answer 3

$$\lim{x \to 0}\frac{1}{e} \frac{e- e^{\dfrac{\ln (1+x)}{x}}}{x} = \lim{x \to 0} \frac{1- e^{\dfrac{\ln (1+x)}{x} - 1} }{x} \= \lim{x \to 0} \frac{1- e^{\dfrac{\ln (1+x)}{x} - 1} }{\dfrac{\ln (1+x)}{x} - 1} \lim{x \to 0} \dfrac{\dfrac{\ln (1+x)}{x} - 1}{x} =-\lim_{x\to 0} \dfrac{\ln(1 + x) - x}{x^2} = \dfrac12$$

Prueba del límite último.

Answer 4

$$\lim{x\rightarrow0}\frac{e- e^ \frac{\ln (1+x)}{x}}{ex}=-\lim{x\rightarrow0}\frac{e^ \frac{\ln (1+x)}{x}\left(\frac{x}{1+x}-\ln(1+x)\right)}{ex^2}=-\lim{x\rightarrow0}\frac{x-(1+x)\ln(1+x)}{x^2}=$$ $$=-\lim{x\rightarrow0}\frac{1-\ln(1+x)-1}{2x}=\frac{1}{2}.$$