Dado un espacio $X$ y el morfismo de cobertura de los grupoides $q: G \to \pi_1 X$ el objetivo es construir una topología sobre $Y= Ob(G)$ para que $p=Ob(q): Y \to X$ es un mapa de cobertura del tipo requerido. Dado un punto $x \in X$ se supone que se puede elegir un barrio $N$ de $x$ tal que el mapa inducido de groupoides $\pi_1(N) \to \pi_1(X)$ se eleva a un conjunto de morfismos $\pi_1(N) \to G$ de tal manera que estos mapas $x \in N$ a todos los puntos $y$ en $q^{-1}(x)$ . Para ello es necesario que la imagen de $\pi_1(N,x)$ en $\pi_1(X,x)$ se encuentra en las imágenes bajo $p$ de todos $G(y)$ . Esto nos da la condición local necesaria. Suponiendo esto, la imagen bajo estas elevaciones de $N$ en $Y$ da una base para la topología de $Y$ que se necesita. Esta es la cuenta en Topología y Groupoides como en las ediciones de 1968 y 1988.
En mi opinión, la ventaja de este enfoque es que comparamos mapas de elevación con morfismos elevadores mientras que el denominado clásico utiliza acciones (de grupos) que se alejan de la analogía directa entre mapas y morfismos. ¡Chacun a son gout!
Una corrección del libro es que la condición de Hausdorff no es necesaria para la teoría de los espacios de cobertura.
Una generalización a los "semicubrimientos" viene dada por Brazas .
Di en París el 5 de junio de 2014 una charla que está disponible en mi página de preimpresión explicando cómo el uso de los grupoides en este campo me llevó a mí y a mis colegas a los "grupoides superiores" en topología algebraica.
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¿Entiendes el caso "clásico" de las puntas? Es decir, la equivalencia entre cubiertas de $X$ y $\pi_1(X,x)$ -sets (cuando $X$ también está conectada por un camino).
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Desde 1968 vengo presentando el caso de que el uso de morfismos de recubrimiento de los grupoides facilita la comprensión de esta teoría, ya que mapas de espacios se modelan mediante morfismos de groupoides.