Puntos racionales en curvas elípticas

Question

¿Tengo este problema de tarea: puede existir una curva elíptica, ve como una curva proyectiva, con ningún punto racional con al menos un 0 como una coordenada?

Answer 1

Seguro de: asumir una curva elíptica $\mathbf Q$ con el Grupo trivial de Mordell-Weil, por ejemplo la curva $11a2$ en las tablas de Cremona (ecuación $y^2+y=x^3−x^2−7820x−263580$) y utilizar una transformación proyectiva (más de $\mathbf Q$) para enviar el punto en el infinito a $(1:1:1)$.