Converse: $f'(x)\ge 0 \implies f$ es monótonamente creciente?

Question

En mi libro de texto se establece el siguiente teorema: Si $f'(x)\ge0$ para todos $x\in(a,b)$ entonces $ f $ es monótonamente creciente.

¿Es también cierto lo contrario? Intuitivamente parece que sí, pero sé que debe haber una razón por la que no es una declaración if y only if.

Answer 1

Si $f$ es diferenciable y monótona creciente entonces $f'(x) \geq 0.$

Lo demostramos por contraposición. si $x < y $ et $f(x) > f(y)$ entonces el teorema del valor medio dice que existe $z \in (x,y)$ tal que $$ f'(z) = \frac{f(y) - f(x)}{y-x} < 0. $$ Hemos terminado.

Answer 2

Lo contrario es cierto si, por ejemplo, se asume $f'$ es continua a partir de un conjunto discreto de puntos. Si $f'(x_0)<0$ entonces la continuidad implica que $f'(x)<0$ en algún intervalo alrededor de $x_0$ . Entonces $f$ es decreciente en ese intervalo.

Answer 3

Lo contrario es cierto si supones que tu función es diferenciable; esto se comprueba fácilmente escribiendo la definición de límite de la derivada y utilizando el hecho de que $f$ es monótona para establecer la desigualdad en la derivada. Probablemente, la razón por la que no se estableció la inversa fue que las funciones monótonas no necesitan ser diferenciables en todas partes.

Answer 4

Para añadir explicaciones a lo que todos los demás ya están afirmando. Tome $f(x) = x \cdot \mathbb{1}_{\{x\leq 1\}} + (2x-1) \cdot \mathbb{1}_{\{x>1\}}$ entonces $f$ es monótonamente creciente, pero $f'(1)$ no está definido.

Ahora bien, si se añade la diferenciabilidad se obtiene una historia completamente diferente (véase cualquiera de las otras respuestas).

Answer 5

Una pista: Si $f: [a,b] \to \mathbb R$ es diferenciable por la derecha y $f_+'(a) < 0$ entonces existe $\delta > 0$ tal que $x \in [a,b]$ , $$a< x < a+\delta \implies f(x) <f(a)$$

Esto viene de

$$x \in [a,b], a< x< a + \delta \implies \frac{f(x) - f(a)}{x -a } < 0 \implies f(x) < f(a)$$

Supongamos por un momento que $f'(x) < 0$ para algunos $x \in [a,b]$ y llegar a una contradicción.