Se exponencial y funciones trigonométricas las únicas soluciones no triviales a $F'(x)=F(x+a)$?
$F(x)=0$ sería la solución trivial. Entonces, para $a=0$ (o $a=2\pi i$), tenemos $F(x)=e^x$, y para $a=\dfrac\pi2$ hay$F(x)=\sin x$$F(x)=\cos x$. Pero los tres están conectados por la fórmula de Euler $e^{ix}=\cos x$ $+i\sin x$. De hecho, en un plano más general nota, dejando $F(x)=e^{\lambda x}$, $\lambda=\dfrac{W(-a)}{-a}$ donde W es la función W de Lambert. Mi pregunta sería si estos son la única , debido a las especiales propiedades de la serie e y de la función exponencial, o si no hay acaso más, que no pertenecen a la misma familia o categoría como estos, es decir, que no son exponenciales o trigonométricas en la naturaleza ? Gracias.
Respuesta
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Mira estos MO entradas: En la ecuación f(z+1)-f(z)=f'(z), y Solucionar $f(x)=\int_{x-1}^{x+1} f(t) \mathrm{d}t$. Contienen la respuesta a su pregunta.
EDIT. Para decirlo en breve, la respuesta es: "sí" y "no". En exactamente el mismo sentido que la respuesta a una simple pregunta: "Cada función periódica de un exponencial/trigonométricas de la suma"? "Sí" para un físico, y "no" para un matemático. Pero cada función periódica es un límite de exp/trig sumas.
