Haga $L^p$ los espacios tienen la propiedad de aproximación?

Question

Un espacio de Banach $X$ tiene la propiedad de aproximación si todo operador compacto $T:X \to X$ es la norma-límite de una secuencia de operadores de rango finito.

Mi pregunta es si existe una prueba sencilla de que la propiedad de aproximación se mantiene para $L^p(\Sigma,\mu)$ espacios. Me bastaría con demostrar esta propiedad en el caso de que $T$ es lineal.

He encontrado una prueba de esto en el caso $\mu(\Sigma)<\infty$ en el que se encuentra explícitamente la secuencia, pero no puedo adaptar la prueba para el caso general.

También se agradecería cualquier referencia. Gracias

Answer 1

Norbert ha respondido a tu pregunta, pero me parece que aquí no hace falta esa maquinaria.

En primer lugar, hay que tener en cuenta que si la medida $\mu$ es infinito pero $\sigma$ -finito, utilizando el teorema de Radon-Nikodym se puede encontrar una isometría entre $L_p(\mu)$ y $L_p(\nu)$ para alguna medida finita $\nu$ .

Dejemos que $p\in [1,\infty)$ . Ahora, supongamos que $\mu$ es arbitraria. Basta con demostrar que cada subespacio separable de $L_p(\mu)$ está contenido en un subespacio complementado (separable) con la propiedad de aproximación. Sea $X\subset L_p(\mu)$ sea separable. Sea $Y$ sea la subred generada por $X$ claramente $Y$ también es separable. Por el teorema de Kakutani, $Y$ es complementario e isométrico a $L_p(\nu)$ para algunos $\sigma$ -medida finita $\nu$ en cuyo caso $Y$ tiene la propiedad de aproximación.

Para $p=\infty$ considere la subálgebra puntualmente cerrada generada por $X$ .

Answer 2

Ni siquiera cada $L_p$ espacio para $1\leq p\leq\infty$ tienen la propiedad de aproximación, pero cada $\mathfrak{L}_p^g$ tienen la propiedad de aproximación limitada. Para más detalles, véase la sección 23.3 de Normas tensoriales e ideales de operadores. A. Defant, K. Floret