Cómo probar esto$\sum_{k=1}^{n}\frac{k}{3^k-2^k}<\frac{5}{3}$

Question

demostrar que %#% $ #%

mi idea: usar %#% $ #% % $ $$\sum_{k=1}^{n}\dfrac{k}{3^k-2^k}

otra idea: $$3^k-2^k>2^k(k\ge 2)$ $

Pero esto mismo no puede comprobarlo %#% $ #%

¿así que este problema tiene otros métodos agradables? Gracias

Answer 1

De manera geométrica/aritmética, $$ 3 ^ k-2 ^ k = 3 ^ {k-1} +3 ^ {k-2} \cdot 2 + \ldots +2 ^ {k-1}

Answer 2

Con su método tienes que calcular el $11$ términos de la suma exacta (para $n>11$) $$\sum{k=1}^{11} \frac k{3^k-2^k} +\sum{k=12}^n \frac k{2^k}$ $ para conseguir algo más pequeño de $\,\frac 53\,$ (para todos los $\,n>11\,$)

Una variante más precisa: $\displaystyle 3^k-2^k>\frac{3^k}2\ $ $k\ge 2\;$ todavía requeriría $6$ términos.

parece aceptable con sólo términos de $\displaystyle 3^k-2^k>\frac 45 3^k\ $ $k\ge 4\;$ $3$.

Te dejo que verificar esto.