Encuentre $f(x)$ para $f(f(x))=\sin x$

Question

Encontrar todas (si es posible) las funciones $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ tal que $$f(f(x))=\sin x.$$

Este es un problema que me planteó un amigo. Dijo que lo vio en un libro hace mucho tiempo, pero no podía recordar qué libro. Literalmente no tengo ni idea de cómo resolverlo, así que no puedo publicar mi intento aquí.

Answer 1

Existen innumerables soluciones. Dejemos que $\sigma$ sea cualquier involución de $I_0=(1,\pi/2]$ sin puntos fijos. Por ejemplo, podríamos tomar $$ \sigma(x)=\begin{cases} ax+\frac{\pi/2-a^2}{a+1}&\text{if }1<a\leq\frac{a+\pi/2}{a+1},\\ x/a+\frac{a-\pi/(2a)}{a+1}&\text{if }\frac{a+\pi/2}{a+1}<a\leq\pi/2 \end{cases} $$ para cualquier $a>0$ . Sea $I_n=\sin(I_{n-1})$ para $n>1$ . Tenga en cuenta que $$ (0,\pi/2]=\bigsqcup_{n\geq 0}I_n. $$ Ahora defina $f$ de acuerdo con las siguientes reglas: $$\begin{eqnarray*} f(0)&=&0,\\ f(x)&=&\sigma(x)\text{ if }x\in I_0\text{ and }x>\sigma(x),\\ f(x)&=&\sin(\sigma(x))\text{ if }x\in I_0\text{ and }x<\sigma(x),\\ f(x)&=&\sin(f(\sin^{-1}(x)))\text{ if }x\in I_n,\,n>0,\\ f(x)&=&-f(-x)\text{ if }x\in[-\pi/2,0),\\ f(x)&=&f(\pi-x)\text{ if }x\in(\pi/2,3\pi/2],\\ f(x)&=&f(x-2\pi)\text{ if }x>3\pi/2,\\ f(x)&=&f(x+2\pi)\text{ if }x<-\pi/2. \end{eqnarray*}$$ Tenga en cuenta que se aplica exactamente una regla a cada $x\in\mathbb R$ . También la regla para $x\in I_n$ implica $f(\sin x)=\sin f(x)$ para $x\in(0,\pi/2]$ . Podemos verificar $f(f(x))=\sin x$ considerando cada posibilidad de $x$ . Si $x\in I_0$ y $x>\sigma(x)$ entonces $\sigma(\sigma(x))=x>\sigma(x)$ Así que $$ f(f(x))=f(\sigma(x))=\sin(\sigma(\sigma(x))=\sin x. $$ Si $x\in I_0$ y $x<\sigma(x)$ entonces $$ f(f(x))=f(\sin(\sigma(x))=\sin f(\sigma(x))=\sin x. $$ Si $x\in I_n$ y la afirmación se mantiene en $I_{n-1}$ entonces $$ f(f(x))=f(\sin(f(\sin^{-1}(x))))=\sin(f(f(\sin^{-1}(x))))=\sin x. $$ Si $x\in[-\pi/2,0)$ entonces $$ f(f(x))=f(-f(-x))=-f(f(-x))=-\sin(-x)=\sin x. $$ Así, $f(f(x))=x$ para $x\in[-\pi/2,\pi/2]$ y el resto de normas lo amplían a $x\in\mathbb R$ .

Answer 2

Ha habido un par de preguntas sobre esta función en MSE y Math Overflow, quizás la mejor discusión relacionada con tu pregunta está en MO que incluye una solución mediante la técnica de búsqueda de la función de Abel introducida por J.Ecalle.

He mirado -más ingenuamente- las series de potencia formales hasta el término 512's encontrando una fuerte divergencia aquí o aquí por lo que se concluye que el radio de convergencia de la serie de potencias es cero (pero la serie es utilizable como serie asintótica dando aproximaciones utilizables en truncamientos de la serie, o siendo sumable por Noerlund en el sentido de los procedimientos de suma para series divergentes)

Una imagen de $y=\sin(x)$ el medio iterado $y=\sin^{\circ 0.5}(x)$ , $y=\sin^{\circ 1/3}(x)$ y $y=x$ (utilizando la serie de potencias asintótica de la solución de Abel de Ecalle como se muestra en ese hilo en MO)

Answer 3

Creo que hay una solución analítica.

Dejemos que $f(z) = \sum_{n=1}^\infty c_n z^n$ sea analítico para $|z|$ lo suficientemente pequeño. Tenemos $$f(f(z)) = \sum_{n=1}^\infty c_n f(z)^n =\sum_{n=1}^\infty c_n (\sum_{k=1}^\infty c_k z^k)^n$$ $$ = \sum_{n=1}^\infty c_n \sum_{m=1}^\infty z^m \sum_{\sum_{l=1}^n k_l = m} \prod_{l=1}^n c_{k_l}$$ $$ = \sum_{m=1}^\infty z^m \sum_{n=1}^m c_n\sum_{\sum_{l=1}^n k_l = m} \prod_{l=1}^n c_{k_l}$$ Y si nos dan una función analítica $g(z) = \sum_{m=1}^\infty b_m z^m$ la ecuación $g(z) = f(f(z))$ para $|z|$ lo suficientemente pequeño se convierte en

$$b_m = \sum_{n=1}^m c_n\sum_{\sum_{l=1}^n k_l = m} \prod_{l=1}^n c_{k_l}$$ $$ = c_1 c_m + c_m c_1^m + \underbrace{\sum_{n=2}^{m-1} c_n\sum_{\sum_{l=1}^n k_l = m}\prod_{l=1}^n c_{k_l}}_{\text{only } c_k, \ k < m \text{ appears there}} $$

para que siempre exista una solución para los coeficientes cuando $b_1 = 1$ : $$c_1 = 1, \qquad c_m = \frac{1}{2}(b_m - \sum_{n=2}^{m-1} c_n\sum_{\sum_{l=1}^n k_l = m}\prod_{l=1}^n c_{k_l})$$ Todo lo que tenemos que hacer entonces está demostrando $f(z) = \sum_{n=1}^\infty c_n z^n$ converge : que $c_n = \mathcal{O}(R^n)$ para algunos $R$ .

Answer 4

Ahora bien, dada una $x$ con $x_1 = \sin x$ y $ x_{n+1} = \sin x_n$ es un resultado de Jean Ecalle en Orsay que podemos tomar $$ \alpha(x) = \lim_{n \rightarrow \infty} \; \; \; \frac{3}{x_n^2} \; + \; \frac{6 \log x_n}{5} \; + \; \frac{79 x_n^2}{1050} \; + \; \frac{29 x_n^4}{2625} \; - \; n.$$

Tenga en cuenta que $\alpha$ en realidad se define en $ 0 < x < \pi$ con $\alpha(\pi - x) = \alpha(x),$ pero la simetría también significa que la función inversa vuelve al intervalo $ 0 < x \leq \frac{\pi}{2}.$ Puedes ver cómo esto no puede ser extendido alrededor del origen como una función meromorfa debido al evidente término del logaritmo.

Antes de continuar, la técnica de límites del párrafo anterior se recoge en las páginas 346-353 de Ecuaciones funcionales iterativas por Marek Kuczma, Bogdan Choczewski y Roman Ger. La solución es específicamente el teorema 8.5.8 de la subsección 8.5D, desde la parte inferior de la página 351 hasta la superior de la página 353. La subsección 8.5A, páginas 346-347, sobre la ecuación de Julia, forma parte del desarrollo.

Definimos ( al menos para $ 0 < x \leq \frac{\pi}{2}$ ) $$ f(x) = \alpha^{-1} \left( \frac{1}{2} + \alpha(x) \right) $$ Esa es la versión corta. En el libro de Milnor, $\alpha$ se llama coordenada Fatou.