Hay una conexión entre elementos primitivos (para extensiones de campo) y vectores cíclicos (en álgebra linear)

Question

Soy alérgico a los campos finitos, así que vamos a trabajar en el carácter $0$. El primitivo elemento teorema de los estados:

Primitivo elemento teorema: Vamos a $E / F$ ser finito-dimensional de extensión de campo, decir $n =[E:F]$. Entonces, existe un elemento $\alpha \in E$ tal que $E = F[\alpha]$.

La siguiente no es realmente un "teorema" tanto como un hecho básico de álgebra lineal, pero de todos modos:

Cíclico vectoriales teorema: Vamos a $V$ ser finito-dimensional espacio vectorial sobre $F$, decir $\mathrm{dim}(V)=n$. Deje $T : V \to V$ ser una transformación lineal con un mínimo de polinomio $m$. Si $\mathrm{deg}(m) = \mathrm{dim}(V)$, entonces no es un vector $v \in V$ tal que $v,Tv,\ldots,T^{n-1}v$ es una base para $V$.

Cuando su extensión $E/F$ es solos generado más de $F$$\alpha$, se puede considerar el polinomio mínimo (ahora en el sentido de un elemento algebraico sobre un campo) $m$ del elemento $\alpha$, que es irreductible, y tiene el grado $n = [E:F]$. Es algo obvio en esta situación que $T : E \to E$ $T(\beta) = \alpha \beta$ $F$- transformación lineal cuya mínimo polinomio (en el sentido de álgebra lineal) también es $m$. Cualquier elemento distinto de cero es cíclica vector para esta transformación. Quizás $1 \in E$ es una opción particularmente natural. Así que, de todos modos, hay al menos algún tipo de superficial conexión entre la caja de los resultados anteriores. Pero lo que realmente quiero saber si hay una utilidad de conexión. En especial me gustaría saber:

Pregunta: hay alguna manera en la que hábilmente las cosas de modo que el primitivo elemento teorema se convierte en una consecuencia de la "cíclico vectoriales teorema"? Si no, puede que la noción de un vector cíclico, al menos, ser utilizado para aclarar el primitivo elemento teorema de alguna manera?

Answer 1

Necesitamos un mínimo polinomio con grado igual a la dimensión de $V$ a aplicar cíclico vectoriales teorema. Así, si tomamos $E=V$ usted necesita un polynomal de grado $[E:F]$ y la única buena opción para este polinomio que veo es el polinomio mínimo de a $\alpha$.

Lo que puedes hacer es ver el cíclico vectoriales teorema como caso especial de la primitiva elemento teorema. El uso de la cíclico vectoriales teorema o la estructura teorema de finitely módulos generados durante un director ideal de dominio a la identidad $V$ $L=F[X]/(m)$ tal que $T$ es representado por la multiplicación por $X$. Ahora bien, si usted se olvida de los morfismos $T$ se puede recuperar a partir de $L/F$ utilizando la primitiva elemento teorema y se obtiene el vector cíclico, básicamente, de forma gratuita.

No se si es útil lo que escribí. Se parece un poco hecha para mí. Tal vez se ayuda de todos modos.