Radio de la imagen esférica de un círculo

Question

Esta es la pregunta 5 de la página 20 del libro Análisis complejo por Lars Ahlfors. No tengo ni idea de cómo responder a ese problema:

Hallar el radio de la imagen esférica del círculo en el plano cuyo centro es $a$ y el radio es $R$ .

Aquí imagen esférica significa: la imagen de un subconjunto de números complejos bajo la identificación del plano complejo con la esfera $\Bbb S^2$ (la esfera de Riemann) mediante proyección estereográfica:

Gracias.

Answer 1

Como se puede ver en la imagen, la geometría es simétrica respecto al eje vertical, es decir, la respuesta sólo depende de $R$ et $A=|a|$ . Así que si tomamos nuestro círculo como centrado en el $x$ -como ha sugerido @Hagen, sólo tenemos que fijarnos en la intersección de la imagen con el eje $(x,z)$ -avión. El mapa del $x$ -eje al círculo $x^2+z^2=1$ es: $$ \xi\mapsto \left(\frac{2\xi}{\xi^2+1},\frac{\xi^2-1}{\xi^2+1}\right)\,. $$ Ahora tienes que conectar $A+R$ et $A-R$ para $\xi$ encuentra los dos puntos que te da la fórmula, y la distancia entre ellos es el diámetro del círculo que quieres, de nuevo haciendo uso de la sugerencia de @Hagen. Parece álgebra muy complicada, y me pregunto si hay una forma más sencilla de hacerlo.

Supongo que debería presumir de haber aprendido estas cosas del libro de Ahlfors, con el propio Ahlfors delante de la clase. Era un profesor magnífico.

Answer 2

Ahlfors ofrece una sencilla derivación de la fórmula de la distancia cordal $$ d(z,z') = \frac{2|z-z'|}{\sqrt{(1+|z|^2)(1+|z'|^2)}} $$ en la página 20 de su libro. Aquí $z,z' \in \mathbb C$ y la distancia cordal es por definición la distancia de $z$ a $z'$ tras aplicarles la proyección estereográfica.

En $z= A+R$ et $z'=A-R$ como sugiere @lubin esto se simplifica a $$ d(A+R,A-R) = \frac{2R}{\sqrt{(1+(A+R)^2)(1+(A-R)^2)}} = \frac{2R}{\sqrt{1+2A^2+2R^2+(A^2-R^2)^2}} $$ y dividiéndolo por $2$ da la fórmula que buscas.

Ya que preguntas en un comentario cómo ver que los puntos diametralmente opuestos $A+R$ et $A-R$ se asignan a puntos diametralmente opuestos: obsérvese que los círculos alrededor del origen que pasan por $A\pm R$ son tangentes al círculo $C$ de radio $R$ en torno a $A$ . La proyección estereográfica los cartografía en círculos de latitud tangentes a la imagen del círculo $C$ .

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El álgebra no es tan complicada:

Sea $x = (x_1,x_2,x_3)$ et $x'=(x_1',x_2',x_3')$ sean los puntos de $S^3$ correspondiente en proyección estereográfica a $z$ et $z'$ respectivamente. Entonces $\lVert x\rVert^2 = 1=\lVert x'\rVert^2$ et $$ \begin{align*} \lVert x - x'\rVert^2 &= (x_1 - x_1')^2 + (x_2-x_2')^2 + (x_3-x_3')^2 \cr &= 2 - 2(x_1 x_1' + x_2 x_2' + x_3 x_3'). \end{align*} $$ Tras recordar al lector $\DeclareMathOperator{\Re}{Re}\DeclareMathOperator{\Im}{Im}$ $$ (x_1,x_2,x_3) = \frac{1}{1+|z|^2}\left(2\Re z, 2\Im z, |z|^2-1\right) = \frac{1}{1+|z|^2}\left(z+\bar{z}, z-\bar{z}, |z|^2-1\right), $$ Ahlfors calcula $$ \begin{align*} x_1 x_1' + x_2 x_2' + x_3 x_3' &= \frac{(z+\bar{z})(z'+\bar{z'}) + (z-\bar{z})(z'-\bar{z'}) + (|z|^2-1)(|z'|^2-1)}{(1+|z|^2)(1+|z'|^2)} \cr &= \frac{(1+|z|^2)(1+|z'|^2) - 2|z-z'|^2}{(1+|z|^2)(1+|z'|^2)} \end{align*} $$ y obtiene $$ \lVert x - x'\rVert = \frac{2|z-z'|}{\sqrt{(1+|z|^2)(1+|z'|^2)}}. $$

Answer 3

Creo que he conseguido escribirlo bien.

Denotemos la proyección estereográfica de $\Bbb C$ a la esfera por $\varphi$ . Denotemos $C(a,R)$ el círculo con centro $a$ y radio $R$ .

Supongamos en primer lugar que $a\in[0,\infty[$ . Entonces, como $\varphi$ mapea círculos en círculos, el diámetro de la imagen del círculo es $$D = \sup\{d(\varphi(z),\varphi(a+R)):z\in C(a,R)\}.$$

Se trata de encontrar un límite para $$\{d(\varphi(z),\varphi(a+R)):z\in C(a,R)\}$$

y luego ver que el límite se alcanza en un punto del círculo por lo que tiene que ser el sup.

Por lo tanto, observe que

\begin{align} d(\varphi(z),\varphi(a+R)) &= \frac{2\lvert z - (a+R)\rvert}{\sqrt{(1+\lvert z\rvert^2)(1+\lvert a + R\rvert^2)}} \\ &\leq \frac{2(\lvert z-a\rvert + R)}{\sqrt{(1+\lvert z\rvert^2)(1+\lvert a + R\rvert^2)}} \\ &= \frac{4R}{\sqrt{(1+\lvert z\rvert^2)(1+\lvert a + R\rvert^2)}} \tag{1} \end{align}

Por otra parte, si $z = x + iy$ está en $C(a,R)$ entonces $$ R^2 = (x-a)^2 + y^2,$$

así que

\begin{align} \lvert z \rvert^2 &= x^2 + R^2 - (x-a)^2 \\ &= x^2 + R^2 - x^2 + 2xa - a^2 \\ &= R^2 + 2xa - a^2\tag{2} \end{align}

pero como $z$ está en el círculo $\Re z = x \in [a-R,a+R]$ . Así que por (2) \begin{align} \lvert z \rvert^2 &= R^2 + 2xa - a^2 \\ &\geq R^2 + 2(a-R)a - a^2 \\ &= (a-R)^2. \end{align}

Así que

\begin{align} 1 + \lvert z\rvert^2 &\geq 1 + (a-R)^2 \\ \frac{1}{\sqrt{1 + \lvert z\rvert^2}} &\leq \frac{1}{\sqrt{1 + (a-R)^2}}. \end{align}

Por (1)

$$ d(z,a+R) \leq \frac{4R}{\sqrt{(1+\lvert a - R\rvert^2)(1+\lvert a+R\rvert^2)}} $$

y el límite se alcanza en $z=a-R$ por lo que el radio es $$\frac{2R}{\sqrt{(1+\lvert a - R\rvert^2)(1+\lvert a+R\rvert^2)}}.$$

Ahora, observe que la fórmula $$d(\varphi(z),\varphi(z'))=\frac{2|z-z'|}{\sqrt{(1+|z|^2)(1+|z'|^2)}}$$ es invariante bajo rotaciones.

Así que si $a\in\Bbb C \setminus [0,\infty[$ en particular no es $0$ por lo que girar por $\frac{\bar a}{\lvert a \rvert}$ y hemos terminado.

Answer 4

Un enfoque: Queremos $F:\mathbb R^2 \to \mathbb S^2$ donde $\mathbb S^2 = x^2+y^2+z^2=2$ .

Puede calcular la imagen de $(x,y)$ Mientras trataba de resolverlo, obtuve algo como..: $$ F(x,y)=\left(\frac{2x}{x^2+y^2+1},\frac{2y}{x^2+y^2+1},\frac{x^2+y^2-1}{x^2+y^2+1}\right)$$

Ahora,por lo que yo se,los circulos son enviados a circulos bajo esta proyeccion,asi que,consigue 3 puntos cualesquiera de un circulo y encuentra sus imagenes.Como tres puntos cualesquiera describen completamente el circulo,hemos terminado.

P.D: No estoy seguro de la fórmula, así que por favor compruébala en el libro que estés utilizando.