$f(x+f(y))=f(x)+y^n$

Question

Aquí está el problema:

Fijar $n\in\mathbb{N}$. Encontrar todas las soluciones monotónica $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ tal que $f(x+f(y))=f(x)+y^n$.

He intentado mostrar que $f(0)=0$ y derivan algunas propiedades han sido incapaces de hacerlo.

Se agradecería una solución.

Answer 1

Si $|f(0)|>0$, f es monótona función periódica y por lo tanto es constante; sin embargo, la ecuación funcional no admite constante de soluciones, de modo que debemos tener

$f(0)=0\;\;\;(1)$.

Ahora, sustituyendo $x=0$ en el funcional de la ecuación nos da

$f(f(y))=y^n\;\;\;(2).$

Nota (2) que permite escribir la ecuación funcional como

$f(x+f(y))=f(x)+y^n=f(x)+f(f(y))\;\;\;(3).$

También tenga en cuenta que por la funcional de la ecuación (1), el rango de $f$ contiene todos los no-números negativos (fix $x=0$ y variar y). Por lo tanto cualquier valor no negativo puede ser sustituido por f(y).

Por lo tanto la funcional de la ecuación puede ser escrita como

$f(x+y)=f(x)+f(y),x\in\mathbb{R}, y\geq0\;\;\;(4)$

Puesto que f es monótona, debemos tener para $x\geq0, f(x)=Cx$ para alguna constante C.

Sustituyendo esta solución parcial en el original funcional de la ecuación, vemos que esto sólo es posible si $n=1$; es decir, si $n\neq1$ funcional ecuación no admiten soluciones.

Si $n=1$, f es claramente surjective por el original funcional de la ecuación y, por tanto (4) tiene $\forall x,y\in\mathbb{R}.$

De ello se desprende que las únicas posibles soluciones son de la forma $f(x)=Cx$ para alguna constante C (monotónica aditivo funciones son lineales).

Sustituyendo en la ecuación funcional, nos encontramos con que las únicas soluciones son $f(x)=\pm x\;\;\;(\forall x\in\mathbb{R})$.

Answer 2

Se puede demostrar que, en lugar de monotonía, podemos asumir otras propiedades de $f$ y obtener el mismo resultado. Para esto, primero debemos encontrar algunas de las propiedades de $f$ sin asumir la monotonía y, a continuación, aplicar el extra de la asunción.

Supongamos que tenemos: $$f(x+f(y))=f(x)+y^n\qquad\bf(1)$$ Dejando $x=y=0$ en (1) obtenemos: $$f(f(0))=f(0)+0^n=f(0)$$ $$\therefore f(f(f(0)))=f(f(0))=f(0)$$ De nuevo, dejando $x=0$ $y=f(0)$ obtenemos: $$f(f(f(0)))=f(0)+f(0)^n$$ $$\therefore f(0)=f(0)+f(0)^n$$ $$\therefore f(0)=0$$ Ahora, dejando $x=0$ en (1) obtenemos: $$f(f(y))=y^n\qquad\bf(2)$$ Así, mediante la aplicación de $f$ en los dos lados de (2) tenemos: $$f(f(f(y)))=f(y^n)$$ Por otro lado, la sustitución de $f(y)$ $y$ en (2) obtenemos: $$f(f(f(y)))=f(y)^n$$ La combinación de los dos últimos resultados, encontramos que: $$f(y^n)=f(y)^n\qquad\bf(3)$$ Ahora, por (1), (2) y (3) tenemos: $$f(f(x+f(y)))=f(y^n+f(x))$$ $$\therefore(x+f(y))^n=f(y^n)+x^n=f(y)^n+x^n$$ $$\therefore(x+f(f(y)))^n=f(f(y))^n+x^n$$ $$\therefore(x+y^n)^n=x^n+y^{n^2}$$ Dejando $x=y=1$ en la última ecuación obtenemos $2^n=2$$n=1$. Por lo tanto, sustituyendo $f(y)$ $y$ en (1), (2) tenemos: $$f(x+y)=f(x)+f(y)\qquad\bf(4)$$ $$f(f(x))=x\qquad\bf(5)$$ Por eso, $f$ satisface (1) iff $n=1$ $f$ satisface (4) y (5).

Es bien conocido que, dada una base de Hamel, uno puede construir salvaje funciones satisfactorio (4) y (5). Por otro lado, también es bien sabido que si $f$ satisface (4) y es también continua, monótona, lebesgue medible o limitada cuando restringida a un intervalo acotado, entonces existe una constante $c$ tal que para cada número real $x$ tenemos $f(x)=cx$. Por ejemplo, ver Resumen de datos básicos acerca de Cauchy funcional de la ecuación. Por (5) se puede ver que $c=\pm1$.