¿es todo subconjunto de un producto semi directo de grupos un producto semi directo de subgrupos?

Question

el título lo dice todo... de todos modos... sea G ser un semi-directa del producto de N por P, y vamos a ser H un subgrupo de G
uno puede siempre encontrar subgrupos de N1 y P1, de N y P, respectivamente, tales que H es la semi-producto directo de estos dos grupos?
si no en general, se puede decir nada acerca de los siguientes casos:
i) G = GL(n,K), es decir, el grupo lineal general de dimensión n sobre algún campo K
ii) G = Aib(E), es decir, el grupo de todos los afín a los movimientos de algunos (finito dimensionales) espacio lineal

thx de antemano

Answer 1

En adición a lo que otros han dicho, permítanme señalar que ni siquiera es cierto que cualquier subgrupo es isomorfo a un semi-producto directo de los subgrupos (tenga en cuenta que esta más débil noción no toma el cuidado de los contraejemplos dado, desde la diagonal grupo es isomorfo a un semi-producto directo de los subgrupos).

Aquí está un ejemplo: supongamos $D$ ser el diedro grupo de orden $2^{n+1}$: $$ D=\langle x,c | x^2=c^{2^n}=1, xcx=c^{-1}\rangle. $$ Deje $H=\langle h| h^{2^n}=1\rangle$ actuar en $D$ a través de $x^h = cx$, $c^h=c$, forma de semi-producto directo de $G=D\rtimes H$. A continuación, puede comprobar que el elemento $xh$ orden $2^{n+1}$, por lo que el grupo cíclico generado por ella no es isomorfo a un semi-producto directo de cualquiera de los subgrupos de $D$ y/o $H$.

Answer 2

El general de la respuesta a su pregunta es no. Por ejemplo, el Klein cuatro grupo es el producto directo (y por lo tanto semidirect producto) de dos grupos cíclicos, pero los (diagonal) subgrupo $\{(0,0),(1,1)\}$ no es el producto de subgrupos.

De hecho, yo diría que casi cualquier ejemplo de un semidirect producto no tiene la propiedad que usted menciona. Ciertamente no es el caso para $\text{GL}(n,K)$ o $\text{Aff}(E)$, aunque no estoy seguro exactamente lo que semidirect la estructura del producto que usted tiene en mente para $\text{GL}(n,K)$. Pero te puedo decir que $\text{Aff}(\mathbb{R})$ tiene un montón de infinito cíclico subgrupos que no son de la forma que usted menciona.

Answer 3

El producto directo $G \times G$ ($G$ ser cualquier grupo no trivial), el subgrupo diagonal no es claramente un producto semidirecto de subgrupos de $G$.