Teoremas de tipo Morera

Question

En Stein y Shakarchi, Análisis Complejo, Princeton conferencias en el Análisis, en el Capítulo 2, Problema 2 una interesante pregunta que se plantea. El problema de la sección en cada capítulo contiene problemas más complicados, con una investigación gusto.

Morera del teorema simplemente afirma que si una función $f$ es continua en a $\Bbb{C}$ $\int_D f(z)dz=0$ para cualquier triángulo(rectángulo) $D$, $f$ es holomorphic en $\Bbb{C}$. (el teorema sigue siendo válido si se sustituye $\Bbb{C}$ por un disco).

El problema que se presentó anteriormente, los estados que

Morera del teorema sigue siendo válido si nos reemplazar los contornos de la integración a partir de los triángulos/rectángulos círculos, y, más en general, a cualquier contorno que es una de traducir y dilatar de un juguete de contorno $\Gamma$.

Hay una prueba simple para este problema, o tal vez una referencia a un artículo en el que puedo encontrar las pruebas?

Yo inicialmente publicado en MO, pero no obtuve una respuesta, y me dijeron que ese no era el lugar para ese tipo de preguntas. He recibido un comentario con una idea de solución, pero yo no puedo hacerlo:

Convolución con una mollifier, se aplican Verde, a la conclusión de que $\overline{\partial}$ de la convolución es $0$, recordemos que el límite uniforme de funciones analíticas es analítica.

Yo estaría encantado si usted podría explicar un poco cómo la respuesta anterior funciona para resolver el problema inicial.

Answer 1

Aquí es lo que la sugerencia (probablemente) significa:

1. Sólo sabemos que $f$ es continua, pero para lo que sigue necesitamos una función suave ($C^\infty$ - aunque menos suave sería suficiente). Para llegar, tome una función suave $\phi(x,y)$ tal que $\phi(x,y)=0$ si $x^2+y^2>1$$\int\phi dxdy=1$. Deje $\phi_\epsilon(x,y)=\phi(x/\epsilon,y/\epsilon)/\epsilon^2$ (de modo que $\phi_\epsilon(x,y)=0$ si $x^2+y^2>\epsilon^2$$\int\phi_\epsilon dxdy=1$). Ahora establezca $f_\epsilon=f*\phi_\epsilon$, es decir,$f_\epsilon(x,y)=\int f(x-x',y-y')\phi(x',y')dx'dy'$. Tenemos $f_\epsilon\to f$ uniformemente $\epsilon\to 0$, e $f_\epsilon$ son lisas.

2. Si $\gamma$ es un contorno de delimitación de un dominio $D$, luego por el teorema de Stokes $\int_\gamma f_\epsilon dz = \int_D df_\epsilon\wedge dz = 2i\int_D\bar\partial f_\epsilon dx dy$. Como $\int_\gamma f_\epsilon dz=0$ de todas las traducciones y la modificación de la escala de algunos $\gamma_0$ delimitador algunos $D_0$, obtenemos $\bar\partial f_\epsilon=0$ (por ejemplo, por $0=\lim_{\delta\to 0} \int_{z_0+\delta D_0} \partial f_\epsilon dx dy/\text{Area}(\delta D_0)=\partial f_\epsilon(z_0)$), es decir, $f_\epsilon$ es holomorphic.

3. Como $f_\epsilon\to f$ uniforme y $f_\epsilon$ son holomorphic, $f$ es también holomorphic.