Cómo probar esto$2^{a_{1}}\cdot~3^{a_{2}}\cdot 4^{a_{3}}\cdots 10^{a_{9}}\le n+1$

Question

Assmue que da los enteros positivos$n$, y los decimales los dígitos del entero positivo$n$ (en la base 10), hay$a_{1}$ número 1,$a_{2}$ número 2, $a_{3}$ number$3$,$\cdots\cdots$,$a_{9}$ number$9$. muestre que$$2^{a_{1}}\cdot~3^{a_{2}}\cdot 4^{a_{3}}\cdots 10^{a_{9}}\le n+1$ $

si$n$ solo tiene un dígito, entonces$a_{n }=1,1\le n<1$, y$a_{i}=0,i\neq n$, está claro$$2^{a_{1}}3^{a_{2}}\cdots 10^{a_{9}}\le n+1$ $

pero cómo probar otro caso

Answer 1

¿Cuántos números no negativos son inferiores o iguales a$n$? Claramente $n+1$.

¿Cuántos números no negativos$x$ satisfacen que cuando se escribe en decimal cada dígito de$n$ es mayor o igual al dígito de$x$ en la misma posición? Claramente$1^{a_0}2^{a_1}\dots 10^{a_9}$, y cada número de este formulario es claramente menor o igual que$n$.

Concluimos $n+1\geq 1^{a_0}2^{a_2}\dots 10^{a_9}$

Answer 2

También es posible usar la inducción para mostrar esto (aunque no tan resbaladizo). Inducir en el número de dígitos. Supongamos que el último dígito de$n$ es$k\in \{0, \cdots, 9\}$. Por hipótesis de inducción,$2^a_1 \cdots (k+1)^{a_k-1}\cdots 10^{a_9}\leq (\frac{n-k}{10}+1)$. Multiplica ambos lados por$k+1$, nos queda mostrar que$(\frac{n-k}{10}+1)(k+1)\leq n+1$ para cualquiera de tales$k$. Para$k=9$ esto siempre es verdadero. Si$k<9$, reorganizando la ecuación anterior (resolviendo n), obtenemos$n\geq \frac{9k-k^2}{9-k}=k$, lo cual es obviamente cierto.