Encontrar las unidades en $M_n(R)$

Question

Que $R$ ser un anillo. Entonces me gustaría saber las unidades en $M_n(R)$.

Esta es mi idea. El determinante es un homomorfismo de $M_n(R)$ $R$. Si $A$ es una unidad, entonces hay un $B$ tal que $AB = I$. Luego tomando determinantes uno encuentra que $\det(A)$ es una unidad en $R$. Por lo tanto, las unidades de $M_n(R)$ son los % de matrices $A$donde $\det(A)$ es una unidad en $R$.

¿Es esto correcto? ¿Esto se puede hacer más explícitamente?

Answer 1

Al $R$ es conmutativa, tiene $$\mathbf{A}\, \mathrm{adj}(\mathbf{A}) = \mathrm{adj}(\mathbf{A})\, \mathbf{A} = \det(\mathbf{A})\, \mathbf I_n \qquad$$ donde $\mathrm{adj}(\mathbf{A})$ es la adjunta o clásica adjunto de $\mathbf{A}$, es decir, la transpuesta de su cofactor de la matriz.

Esta ecuación demuestra que

Si $\det(\mathbf{A})$ es invertible en a$R$, $\mathbf{A}$ es invertible en a $M_n(R)$.

porque, a continuación,$\mathbf{A}^{-1}=\det(\mathbf{A})^{-1}\mathrm{adj}(\mathbf{A})$.

Su argumento se basa en la $\det(\mathbf{AB})=\det(\mathbf{A})\det(\mathbf{B})$ demuestra lo contrario:

Si $\mathbf{A}$ es invertible en a$M_n(R)$, $\det(\mathbf{A})$ es invertible en a $R$.

Answer 2

Sugerencia: Utilice la matriz cofactor si R es comutativo