¿Por qué $\bigcup_{X \in \mathscr{P}(\mathbb{N})}X = \mathbb{N}$, en lugar de $\mathscr{P}(\mathbb{N})?$

Question

Esta es una práctica problema que me acaba de venir a través de, $$\bigcup_{X \in \mathscr{P}(\mathbb{N})}X =$$ Yo me vine con $\mathscr{P}(\mathbb{N})$, pero el libro de las listas de $\mathbb{N}$ como la solución. Yo he pensado que el conjunto solución sería algo como esto, $$\{ \emptyset, \{1\},\{2\},\{309,12\},\{14,900,8,22\},\{6\},... \}$$ en oposición a este, $$\{ 1,2,3,...812,...973,... \}$$ Estamos "sindicalización" todos los elementos posibles de $\mathscr{P}(\mathbb{N})$, cada uno de los cuales es un subconjunto de a $\mathbb{N}$, no un elemento de $\mathbb{N}$. Más generalmente, si para el conjunto de $S$ usted fuera a tomar la unión de todos sus elementos, no su resultado se establezca $S$ sí? $$\bigcup_{x \in S}x=S$$ No estoy seguro a donde voy mal aquí. Cualquier ayuda la mayoría de la recepción :)

Actualización: lo tengo ahora. Gracias por la explicaciones útiles. Mi error fue, como Brian puso,

Cuando usted toma una unión de conjuntos, que usted está recogiendo los elementos de los conjuntos en un conjunto de bits; no está recogiendo los conjuntos de sí mismos.

Así que mi "general" ejemplo de la unión de todos los elementos en un conjunto que está mal porque no se puede tomar a la unión de los elementos, sólo la unión de conjuntos. Yo la culpa de todo la llaves :)

Answer 1

¿Qué significa decir que $$x\in\bigcup_{X\in\wp(\Bbb N)}X\;?$$ By definition it means that there is some $X\in\wp(\Bbb N)$ such that $x\in X$. In other words, there is some $X\subseteq\Bbb, N$ such that $x\in X$. But then $x\X\subseteq\Bbb, N$, so $x\in\Bbb, N$. In other words, every member of $\bigcup_{X\in\wp(\Bbb, N)}X$ es un número natural, y

$$\bigcup_{X\in\wp(\Bbb N)}X\subseteq\Bbb N\;.$$

Nota demasiado que si $x\in X\in\wp(\Bbb N)$, entonces, por definición,$x\in\bigcup_{X\in\wp(\Bbb N)}X$, por lo que para cada $X\in\wp(\Bbb N)$ tenemos $X\subseteq\bigcup_{X\in\wp(\Bbb N)}X$. En particular, para cualquier $n\in\Bbb N$ tenemos $\{n\}\in\wp(\Bbb N)$, lo $n\in\{n\}\subseteq\bigcup_{X\in\wp(\Bbb N)}X$, y por lo tanto $$\Bbb N\subseteq\bigcup_{X\in\wp(\Bbb N)}X\;.$$ It follows immediately that $$\bigcup_{X\in\wp(\Bbb N)}X=\Bbb N\;.$$

Puede ayudar a buscar en un número finito de ejemplo. ¿Qué es $$\bigcup_{X\in\wp(S)}X\;,$$ where $S=\{0,1,2\}$? $\wp(S)=\big\{\varnothing,\{0\},\{1\}.\{2\},\{0,1\},\{0,2\},\{1,2\},\{0,1,2\}\big\}$, so $$\bigcup_{X\in\wp(S)}X=\varnothing\cup\{0\}\cup\{1\}\cup\{2\}\cup\{0,1\}\cup\{0,2\}\cup\{1,2\}\cup\{0,1,2\}=\{0,1,2\}=S\;.$$

Cuando usted toma una unión de conjuntos, que usted está recogiendo los elementos de los conjuntos en un gran conjunto; no está recogiendo los conjuntos de sí mismos.

Answer 2

Si $X\in \mathcal{P}(\mathbb N) $,$X \subseteq \mathbb N$. Así que la unión de dos $X,Y\in\mathcal P (\mathbb N)$ es un subconjunto de a $\mathbb N$.

La segunda observación es (dependiendo de la notación) mal. $\bigcup\limits_{x\in S} x$ no está definido si el elemento de S no son conjuntos de sí mismos. Una manera de evitar esto es para identificar a $x$ $\{x\}$ en esa unión, por lo que la unión es de $$\bigcup\limits_{x\in S} x = \bigcup\limits_{\{x\}\subseteq S} \{x\}$$

Answer 3

El significado del símbolo es $$ \bigcup_{X \in \mathscr{P}(\mathbb{N})}X = \{ x : \text{$x \in X$ algunos $X \in \mathscr{P}(\mathbb{N})$} \}. $$ Así que esta unión es un subconjunto de a $\Bbb{N}$ (que se ocupa de cualquier preocupación que pueda tener porque he escrito $\{ x : \dots \}$ sin especificar un ambiente set), debido a que $x \in X \in \mathscr{P}(\mathbb{N})$ es sólo una forma enrevesada de decir $x \in \Bbb{N}$. Y es evidente que, dada cualquier $x \in \Bbb{N}$,$x \in \{ x \} \in \mathscr{P}(\mathbb{N})$.

Answer 4

La unión de conjuntos combina todos los elementos de los conjuntos, que se traduce en un conjunto que contiene cada elemento que pertenece a alguno de los conjuntos que estamos tomando la unión.

Así que está tomando la unión de todos los $X_i \in \mathcal{P}$, que es el conjunto $$\bigcup_{X \in \mathscr{P}(\mathbb{N})}X = \bigcup_{X_i \in \mathscr{P}(\mathbb{N})}X_i \; =\{x \in X_1 \lor x \in X_2, \lor ...X_n \lor x\in \ldots \mid X_i \in \mathcal{P}(\mathbb N)\} $$ $$ = \{x \in X_i \mid X_i \in \mathcal{P}(\mathbb N), \;\;\text{for some}\;\;i\in I\}= \mathbb N$$

Answer 5

Cada elemento de a $X \in \mathscr{P}(\mathbb{N})$ satisface $X \subset \mathbb{N}$, por lo que debe tener $\cup_{X \in \mathscr{P}(\mathbb{N})} X \subset \mathbb{N}$.