¿Qué es un mapa genérico (genético/geométrica)? (En el estudio de las variedades)

Question

En 29:30 en su conferencia en Youtube, Mikhail Gromov habla de cómo uno sólo consigue un colector de puesta a cero de la ecuación de $f(0)=0$ si el mapa $f$ es "genérica" (o genética o geométrica -- en su mayoría, pero no terminaba de entender su acento).

Es una palabra sucia, porque es muy conveniente, pero usted no sabe lo que recibe -, pero por otro lado este es el principal mecanismo de generación de colectores, por genericity(?)

A continuación pasa a analizar cómo este concepto plantea cuestiones fundamentales, diciendo: 31:37 que si no permitimos que tales funciones a existe, entonces el continuo hipótesis es verdadera, y que si permitimos este tipo de funciones de existir, luego de que el continuo hipótesis es falsa.

¿Qué concepto se está refiriendo? Suena extremadamente importante.

Lo mejor que he podido encontrar es genérica punto que suena vagamente similar. O eso, o tal vez él está traduciendo mal un término ruso y significa punto habitual? Porque soy consciente de cómo se puede utilizar el teorema de la función implícita para tomar el inverso de imágenes de un punto a regular y crear los colectores.

También se habla de entre las singularidades de ser "raro", pero viene con una estructura adicional cuando se producen, que suena como Morse teoría para mí. También habla de una consecuencia de la geometría de Riemann, que contiene al menos para las dimensiones 1-7 y se probó en parte por Jim Simons.

Answer 1

Deje $F$ ser algo de espacio. Un subconjunto $C\subset F$ es genérico, si contiene una contables intersección de abierto y denso subconjuntos. Si $F$ es un espacio de Baire, se deduce que el $C$ es denso en sí mismo. La intuición es que un conjunto genérico es, en cierto sentido, "casi todos" del espacio. Esto generaliza la idea de un completo conjunto de medida fuera de la teoría de la medida. A menudo genérico grupos de interés están abiertas a sí mismos, pero que no necesitan ser.

Algunos ejemplos (algunos fueron dados en los comentarios):

• El conjunto de los números irracionales es genérico, como un subconjunto de a $\mathbb{R}$
• El conjunto de polinomios de grado $n$ $n$ distintas raíces es genérico
• El conjunto de regular los valores de una función suave $f:M\rightarrow \mathbb{R}$ , $M$ un suave colector, es genérico (Adrs del teorema). El conjunto de puntos críticos, no es en general!
• El conjunto de funciones de Morse en un suave colector es genérico (si el colector es compacta, es abierto)
• El conjunto de matrices es invertible genérico

Dada una función suave $f:M\rightarrow \mathbb{R}$ el conjunto de regular los valores es genérico. Esto implica, que para "la mayoría" de los valores de $x\in \mathbb{R}$ el conjunto $f^{-1}(x)$ es un buen colector. De hecho, podemos aplicar el teorema de la función implícita de aquí a la conclusión de que la $f^{-1}(x)$ es un buen colector, pero la "mayoría" no proviene del teorema de la función implícita. Este es uno de los más fáciles de mecanismos para la construcción de suave colectores.