Mostrar $\lim\limits_ {a \rightarrow + \infty } \int_0 ^{ \infty } \frac {1}{1+y^2}e^{-ay} dy =0$

Question

Necesidad de probar $\lim\limits_ {a \rightarrow + \infty } \int_0 ^{ \infty } \frac {1}{1+y^2}e^{-ay} dy =0$ y $\lim\limits_ {a \rightarrow + \infty } \int_0 ^{ \infty } \frac {y}{1+y^2}e^{-ay} dy =0$

¿Puede alguien resolver usando el teorema de la convergencia dominada? Quiero saber cómo se aplica el LDC.

Answer 1

Qué tal esto:

$$0< \frac {1}{1+y^2}<1,$$ lo que significa que $$\frac {1}{1+y^2}e^{-ay} < e^{-ay}$$ y

$$\int _0^ \infty\frac {1}{1+y^2}e^{-ay}dy < \int_0 ^ \infty e^{-ay}dy$$