Mostrar $ \lim\limits_ {a \rightarrow + \infty } \int_0 ^{ \infty } \frac {1}{1+y^2}e^{-ay} dy =0 $

Question

Necesidad de probar $ \lim\limits_ {a \rightarrow + \infty } \int_0 ^{ \infty } \frac {1}{1+y^2}e^{-ay} dy =0 $ y $ \lim\limits_ {a \rightarrow + \infty } \int_0 ^{ \infty } \frac {y}{1+y^2}e^{-ay} dy =0 $

¿Puede alguien resolver usando el teorema de la convergencia dominada? Quiero saber cómo se aplica el LDC.

Answer 1

Qué tal esto:

$$0< \frac {1}{1+y^2}<1,$$ lo que significa que $$ \frac {1}{1+y^2}e^{-ay} < e^{-ay}$$ y

$$ \int _0^ \infty\frac {1}{1+y^2}e^{-ay}dy < \int_0 ^ \infty e^{-ay}dy$$