¿Cuál de los siguientes son conjuntos compactos?

Question

¿Cuál de los siguientes son conjuntos compactos?

1. ${\operatorname{trace}(A): A \text{ is real orthogonal}}$
2. ${A\in M_n(\mathbb{R}):\text{ eigenvalues $|\lambda|\le 2 $}}$

Bueno, matrices ortogonales son compactos, pero el rastro de ellos puede ser cualquier $x\in\mathbb{R}$, así que supongo que 1 es no compacto. Sea un vector propio correspondiente al valor propio $x$; $\lambda$ ¿Luego $Ax=\lambda x$, entonces $|Ax|= |\lambda|\cdot|x|\le |A|\cdot|x|$de % de % que $|A|\ge 2$ $2$ también es no compacto como ilimitada?

Answer 1

1. El mapa $$\operatorname{trace}\colon\mathcal M_n(\Bbb R)\to \Bbb R$$ es lineal, y a partir de un número finito de dimensiones de espacio vectorial, por lo tanto continua. Dicha asignación mapa compacto de los conjuntos compactos uno, y el ortogonal grupo es compacto, por lo tanto el primer conjunto es compacto.

2. El segundo conjunto es no acotada. Las matrices $A_N:=\pmatrix{0&0&\dots&0&N\\ 0&0&\dots&0&0\\ \vdots&\vdots&&\vdots&\vdots\\ 0&0&\dots&0&0}$ es en el segundo set, pero la norma es $N$ por la norma subordinada a la supremum norma, por ejemplo, es $N$. El único autovalor de a $A_N$ $0$ $\{A_N,N\geq 1\}$ no está delimitado por lo tanto no puede ser compacto. Tenga en cuenta que podemos tomar cualquier norma que queremos, desde la $\mathcal M_n(\Bbb R)$ es finito-dimensional, y la elección de $2$ en el texto del ejercicio no es importante (se puede sustituir por $M\geq 0$).

Answer 2

$3.6(b)$: Desde $A$ortogonal $det(A)$ = $\pm1$. Conjunto de $3.6(b)$ es subconjunto de $[-n,n]$. Porque $\lambda_1.\lambda_2.....\lambda_n=\pm1$ $tr(A)=\lambda_1+\lambda_2+.......+\lambda_n$ es claramente cerrado subconjunto de $[-n,n]$ que es compacto.