He encontrado muchas referencias sobre el producto de Kronecker pero no he visto ninguna referencia que hable de por qué existe esta forma de multiplicación y cuál es el uso intuitivo de este producto en particular.
¡Aprecio sus sugerencias!
Suele ser muy útil cuando se resuelve u optimiza una función cuya incógnita es una matriz. Esto se debe a la siguiente relación entre el producto de Kronecker ⊗ y el operador de vectorización vec(⋅) que toma una matriz y la desenrolla en un vector largo: vec(AXB⏟matrices)=(BT⊗A)⏟matrixvec(X)⏟vector Por ejemplo, si quieres resolver la ecuación matricial AXB+X=C, se puede convertir en el siguiente sistema lineal: (BT⊗A+I)vec(X)=vec(C). En términos más generales, las matrices tienen estructuras multiplicativas (operador) y aditivas (espacio vectorial), y la combinación de los productos de Kronecker y la vectorización proporcionan el marco algebraico para la conversión de ida y vuelta entre estos contextos.
Esta explicación tiene sentido, ¿podría explicar por qué utilizó el Kronecker en lugar de la simple multiplicación matricial en la ecuación lineal?
Considera las formas de los objetos. Por ejemplo, si X es una matriz de tamaño n -por- n entonces vec(X) es un vector de longitud n2 y, por tanto, cualquier matriz invertible que la multiplique debe ser muy grande, teniendo un tamaño n2 -por- n2 en lugar de n -por- n .
Y aparece la rareza de MathJax: Cambié \text{vec} por \operatorname{vec} con el resultado esperado de que el espaciado dependiente del contexto antes y después de "vec" entraría en vigor, pero algún experimento revela que cuando hay un subíndice con texto subíndice debajo, entonces no funciona, pero cuando hay un subíndice sin tal subíndice, entonces funciona como se esperaba.
El producto de Kronecker se utiliza incesantemente en el estudio de la distribución de los estadísticos de prueba en el ANOVA y el diseño de experimentos. Se utiliza constantemente en una plétora de formas en la teoría de la distribución de Wishart. En esos temas estoy oxidado. También he visto que se utiliza en bioquímica, pero en ese tema nunca he entrado en todos los detalles.
Gracias por su respuesta, la distribución de Wishart tiene sentido en el contexto del delta de Kronecker. El caso de la función Gamma multivariante es una generalización de la distribución de Wishart en la que cada muestra se extrae independientemente de variables p-normales con media cero. Es una distribución de probabilidad de una matriz de covarianza (n≥p) con algunos grados de libertad. Así pues, la estadística multivariante implica wishart para el análisis de alta dimensión que nos lleva a Kronecker.
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Según la wikipedia generaliza el producto exterior a la matriz de los vectores. Así que parece que cuando se utiliza un producto externo con vectores, se generalizan los mismos principios a la matriz o a los tensores. Así que los campos vectoriales a los campos tensoriales.
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Si puede explicar un poco más sería útil. He entendido que este producto generaliza los vectores a la forma tensorial. Para entender esto ¿necesito saber más sobre Tensores?