Mapas de $D^n$ $D^n$con un solo inversa conjunto abierto.

Question

Deje $D^n$ denotar la bola unidad cerrada en $\Bbb R^n$. En múltiples fuentes demostrando Brown generalizada Schoenflies teorema (incluyendo una versión en el documento original), la siguiente consecuencia de Brouwer de la invariancia de la dimensión se afirma sin pruebas.

Si $f: D^n \rightarrow D^n$ con sólo una no-singleton inversa set $f^{-1}(y)$ disjunta de la frontera, a continuación, $y$ es en el interior de la imagen de $f$.

Estoy en una pérdida en cuanto a cómo ir de la invariancia de la dimensión de este.

EDIT: acabo de ir a través de la prueba de la generalizada Schoenflies en Bing libro, y él no hace uso de este hecho. Todavía estoy interesada en cómo demuestra este de la invariancia de la dimensión (o utilizando similares homológica técnicas como tales).

Answer 1

La invariancia de dominio teorema establece que si $U$ es un dominio abierto de $\mathbb R^n$ $f:U\to\mathbb R^n$ es continua e inyectiva, entonces $f$ está abierto y en el hecho de $f$ es un homeomorphism. Vea aquí.

Ahora llegamos a la pregunta.

Por la continuidad, $f^{-1}(y)$ es cerrado. Vamos $U=int(D^n)\setminus f^{-1}(y)$. $U$ no está vacía de lo contrario, $f(D^n)=y$ y, por tanto, $f^{-1}(y)$ contiene el límite de $D^n$.

Por lo $f(U)$ es abierto y homeomórficos a $U$. Por definición, hay una secuencia $u_n\in U$, de modo que $u_n\to f^{-1}(y)$. Esto proporciona una secuencia $z_n=f(u_n)$ en el interior de la imagen de $f$, de modo que $z_n\to y$.

Si $y$ no es un punto interior, hay una segunda secuencia de puntos $w_n\to y$ no en la imagen de $f$. Deje $\gamma_n$ ser un arco entre el $z_n$ $w_n$ que no contiene $y$. $f^{-1}(\gamma)$ debe contener un punto de $\partial D^n$. Así que tenemos que no es$x_n\in\partial D^n$, de modo que $f(x_n)\to y$. $x_n$ tiene un punto de acumulación $x\in\partial D^n$ y por la continuidad de $f(x)=y$. Por lo tanto, si $y$ no es un punto interior, entonces $f^{-1}(y)$ cruza la frontera.