Encontrar el volumen del conjunto.

Question

Que %#% $ #%

Encontrar el volumen del conjunto $$S={x=(x_1,x_2,\cdots,x_n)\in \Bbb{R}^n:0\le x_1\le x_2\le \cdots \le x_n \le 1}$.

He intentado escribir como un integral múltiple pero se complicaron.

Answer 1

Ciertamente puede hacerlo con un integral múltiple; pero aquí es otro enfoque.

Imaginar escogiendo valores de $n$, $X_1, \dots, X_n$ aleatoriamente, uniformemente e independientemente de $[0,1]$.

Entonces la probabilidad que $X_1\le X_2 \le \cdots \le X_n$ $\frac{1}{n!}$ (ya que hay $n!$ ordenamientos de estas variables).

Pero también esta probabilidad debe ser igual a la proporción del volumen de su región en relación con el $n$-unidad dimensional hypercube.

Answer 2

Podemos definir una secuencia de funciones de la siguiente manera:

$$V_1(x)=\int_0^x1dt=x\\ V_{n+1}(x)=\int_0^xV_n(t)dt$$

A continuación, $V_n(1)$ será el volumen en $\Bbb R^n$. Puede parecer un poco intimidante, pero en realidad es sólo

$$V_n(1)=\int_0^1\int_0^{x_n}\cdots\int_0^{x_3}\int_0^{x_2}dx_1dx_2\cdots dx_{n-1}dx_n$$

Vamos a tratar de mostrar que $V_n(x)=\frac{x^n}{n!}$ todos los $n$, a través de la inducción. El caso de $n=1$ es cierto. Suponiendo que no existe un $k$ por que es cierto,

$$V_{k+1}(x)=\int_0^xV_k(t)dt=\int_0^x\frac{t^n}{n!}dt=\frac{x^{n+1}}{(n+1)!}$$

Por lo que se deduce que es cierto para$k+1$. A continuación, el volumen en $\Bbb R^n$ es

$$V_n(1)=\frac1{n!}$$

como paw88789 la respuesta también afirmó.

Answer 3

Usted está pidiendo para calcular el volumen de un $n$-dimensiones de la pirámide. Es bien sabido que el volumen de una pirámide $P$ (en general de cualquier cono) es: $$ V(P) = \frac{\text{volumen de la base de} \times \text{altura}}{n}. $$ Desde la base es de nuevo un $(n-1)$-dimensiones de la pirámide, y la altura es siempre uno, se puede obtener el resultado por inducción: $\frac{1}{n} \frac{1}{n-1}\dots = \frac{1}{n!}$.

La fórmula anterior puede ser fácilmente demostrado por Cavalieri principios (o teorema de Fubini). La medida de un conjunto puede ser calculada como la integral de la medida de las rebanadas. Si usted cortar un cono con un plano paralelo a la base, se obtiene una figura que es congruente a un rescalement de la base. Más precisamente, si un cono $C$ base $B$ y la altura de la $h$ usted tiene: $$ V(C) = \int_0^h \left(\frac{t}{h}\right)^{n-1}V(B)\, dt = \frac{h}{n} V(B). $$

Answer 4

$n=1$, $S_1$ Es un segmento de línea de la unidad y su volumen es $V_1 = 1$.
$n=2$ $S_2$ Es un triángulo rectangular con $S_1$ como una base y una altura y $V_2 = \tfrac 12V_1 = \tfrac 12$.
$n=3$ $S_3$, Es una pirámide con $S_2$ en una base y una altura y $V_3 = \tfrac 13 V_2 = \tfrac 16$.
....
Para cualquier $n>1$ $Sn$ es un simplex con $S{n-1}$ como una base y una altura y $Vn = \tfrac 1n V{n-1} = \tfrac 1{n!}$.