¿Es $d((a_n),(b_n))=\sum 2^{-n}\lvert a_n-b_n\rvert$ una medida completa en $l^{\infty}$?

Question

Deje $l^{\infty}$ ser el espacio de todos los acotado, secuencias complejas y considerar la métrica $$d((a_n)_{n=0}^{\infty},(b_n)_{n=0}^{\infty})=\sum_{n=0}^{\infty} 2^{-n}\lvert a_n-b_n\rvert$$ en él. Estoy tratando de averiguar si esta $d$ $l^{\infty}$ completa o no.

Deje $(x_k)$ ser una secuencia de Cauchy en $l^{\infty}$ donde $k=0,1,2\ldots$ y dejar que nos indican el $n$el plazo de la $x_k$$a^{(k)}_n$. Entonces es fácil ver que para cada uno de ellos fijo $n$, la secuencia de $$a^{(1)}_n,a^{(2)}_n,a^{(3)}_n,\ldots$$ is a Cauchy sequence in $\mathbb{C}$ and hence converges to $c_n\in\mathbb{C}$, dicen.

Ahora debemos demostrar que $c=(c_n)$ es una secuencia delimitada y que $(x_k)$ converge a $c$ $d$- métrica, pero no estoy seguro de cómo esto. Hay un universal obligado, $M$, delimitación $a^{(k)}_n$ todos los $n$ y todos los $k$? Si ese es el caso, entonces creo que puedo terminar la prueba, pero lo que si no hay un límite? Por favor me ayude a entender esto.

Answer 1

El % de espacio $l^\infty$no es con esa métrica.

Que $a_n^{(k)}=\min(n,k)$, que $$x_1 = (1,1,1,1,\ldots)$ $ $$x_2 = (1,2,2,2,\ldots)$ $ $$x_3 = (1,2,3,3,\ldots)$ $ el $(x_k)$ de la secuencia es Cauchy porque $i<j d="" el="" entonces="" limite="" pero="" si="">2^{-n}$ cuando $n>M$. Así $x$ no es un límite para el $x_n$, $(x_n)$ no hay límite en $l^\infty$, y $l^\infty$ no es con esta métrica.</j>

El límite (pointwise) obvio es $(1,2,3,4,\ldots)$, pero eso no es en $l^\infty$.