Supongamos que un observador parado en el origen en la expansión del espacio. Asumimos que el FRW métrica cerca del origen está dado por:
$$ds^2=-dt^2+a(t)^2dr^2$$
Supongamos que el observador mide el tiempo por el rebote de un rayo de luz en un espejo que está en una constante apropiada de la unidad de distancia de él.
Sustituyendo $dt=0$ en la métrica nos encontramos con que un intervalo de distancia adecuada $ds$ está dada por:
$$ds=a(t)\ dr$$
La integración nos encontramos con la distancia adecuada $S$ a un objeto en el co-movimiento de coordinar $r$ está dada por:
$$S=a(t)\ r$$
Por lo tanto, si el espejo tiene constante una distancia adecuada $S=1$ luego se sigue por un camino en el co-movimiento de coordenadas dado por:
$$r=\frac{1}{a(t)}$$
Un rayo de luz se describe mediante la sustitución de $ds=0$ en la métrica para obtener el valor null geodésica:
$$dr=\frac{dt}{a(t)}$$
Integrando obtenemos la trayectoria de un rayo de luz:
$$r = \int \frac{dt}{a(t)}$$
El espacio-tiempo diagrama de abajo muestra el observador de intentar medir el tiempo cosmológico $t$ usando el reloj de luz.
Uno puede ver que a medida que el espejo se acerca en co-movimiento coordinar $r$ el periodo del reloj de luz se hace más pequeño y más pequeño. Así, el reloj de luz es cada vez más rápido en relación a cosmológico tiempo $t$.
Ahora vamos a hacer una transformación a la conformación de tiempo $\tau$ dado por la relación:
$$d\tau=\frac{dt}{a(t)}$$
La transformada radial coordinar $\rho$ está dada por:
$$\rho\ d\tau = r\ dt$$
Por lo tanto la ruta del espejo en la conformación de las coordenadas está dada por:
$$\rho = r\ \frac{dt}{d\tau}$$
$$\rho = \frac{1}{a(t)} \cdot a(t) = 1$$
El camino de un rayo de luz en el co-movimiento de coordenadas está dada por:
$$dr=\frac{dt}{a(t)}$$
Por lo tanto, en la conformación de las coordenadas, tenemos:
$$d\rho=d\tau$$
En la integración de:
$$\rho = \tau$$
Así, en la conformación de co-coordina el reloj de luz es descrito por el siguiente diagrama:
Ahora puede ver que el reloj de luz periodo es constante - el reloj está funcionando correctamente.
Así, un reloj de luz medidas de conformación de tiempo $\tau$ más que cosmológico tiempo $t$.
Es este argumento correcto?
P. S. En respuesta a Lubos la objeción de que no debería haber introducido una nueva coordinar $\rho$. En lugar debo mantener el co-movimiento de coordinar $r$ pero cambiar el tiempo variable que depende del tiempo cosmológico $t$ a de conformación de tiempo $\tau$.
Por lo tanto, debo expresar la transformación como:
$$r(\tau)d\tau=r(t)dt$$
$$r(\tau)=r(t)\frac{dt}{d\tau}$$
Como el final de el reloj de luz viaja en el camino de $r(t)=1/a(t)$ y un intervalo de tiempo de conformación es $d\tau=dt/a(t)$ encontramos que, en términos de la conformación de tiempo $\tau$, el co-movimiento de coordinar de la final de la luz del reloj, $r(\tau)$, es constante, es decir:
$$r(\tau)=\frac{1}{a(t)}\cdot a(t) = 1$$
Del mismo modo que el haz de luz geodésica está inicialmente en términos de $t$:
$$dr(t)=\frac{dt}{a(t)}$$
el uso de $d\tau=dt/a(t)$ encontramos
$$dr(\tau)=d\tau$$
La integración nos encontramos a la espera de 45 grados conos de luz en la $\tau$,$r$ diagrama espacio-tiempo:
$$r(\tau)=\tau$$.
PS ahora me doy cuenta de que mi idea es incorrecta.
El co-movimiento de la distancia que viaja la luz en un pequeño intervalo de tiempo cosmológico $\delta t$ es: $$r = \frac{c \delta t}{a(t)}$$. Como hemos $r \propto 1/a(t)$ entonces tenemos: $$\frac{c \delta t}{a(t)} \propto \frac{1}{a(t)}$$ $$\delta t \propto 1$$ Por lo tanto, el reloj de luz mide cosmológico tiempo correctamente.
