La noción de limsup para conjuntos

Question

Yo estaba trabajando a través de La Borel-Cantelli lema de Análisis Real del problema de la libreta y se topó con el siguiente comentario:

Deje $\{E_k\}_{k\geq1}$ es una contables de la familia de subconjuntos medibles de $\mathbb{R}^d$ y $\sum \limits_{k=1}^{\infty}m(E_k)<\infty$.

Deje $$E=\{x\in \mathbb{R}^d: x\in E_k, \text{for infinitely many} \ k\}=\limsup\limits_{k\to \infty}(E_k).$$

Sé que la noción de $\limsup$ $\liminf$ para las secuencias de $[-\infty,+\infty]$. Pero aquí $E_k$ son conjuntos (NO números!). ¿Cómo se consigue ese $$\{x\in \mathbb{R}^d: x\in E_k, \text{for infinitely many} \ k\}=\limsup\limits_{k\to \infty}(E_k)?$$

Esta igualdad me parece bastante raro.

Estaría muy agradecido por la explicación!

EDIT: hay alguna diferencia esencial entre el $\limsup$ de la secuencia de conjuntos y reales?

Answer 1

Hemos visto en otra respuesta que

$$ \limsup_{n \to \infty} E_n = \bigcap_{n \ge 1} \bigcup_{m \ge n} E_m.$$

Se puede definir $\limsup$ más en general (en completa celosías) el uso de las operaciones de unirse a $\vee$ y satisfacer $\wedge$, en el simbólicamente manera obvia:

$$ \limsup_{n \to \infty} x_n = \bigwedge_{n \ge 1} \bigvee_{m \ge n} x_m.$$

Aquí, $\{ x_i \}$ es una secuencia en algunas de celosía.

Muy bien, dado un conjunto $X$, su poder establecer $\mathcal P(X)$ es un completo entramado al $\vee$ se define como la toma de los sindicatos, y $\wedge$ se define como tomar las intersecciones. $\mathbb R$ es, además, un completo entramado al $\vee$ se ha tomado para que sea su habitual $\sup$, e $\wedge$ se ha tomado para que sea su habitual $\inf$.

Por lo tanto, podemos ver estos dos aparentemente diferentes definiciones de $\limsup$ como instancias de la misma definición, sólo se aplica en ajustes ligeramente diferentes (es decir, celosías).

Answer 2

Probablemente, usted debe considerar $$\limsup\limits_{k\to \infty}(E_k) = \{x\in \mathbb{R}^d: x\in E_k, \text{for infinitely many } k\}$$ para ser una definición de la izquierda-lado por el momento.

Teórico Economista proporciona una correcta teóricos de la motivación para esta definición, pero también tiene una bonita interpretación en términos de pointwise limsups de funciones:

Si definimos la secuencia de funciones $$ f_k(x) = \begin{cases} 1 & \text{if } x\in E_k \\ 0 & \text{otherwise } \end{cases} $$ -- que es, $f_k$ es la función de indicador de $E_k$ - a continuación, $$ f(x) = \limsup_{k\to\infty} f_k(x) $$ es exactamente la función del indicador para el conjunto de $\limsup_{k\to\infty} E_k$.

Tenga en cuenta que para una secuencia de números de $a_k$ que son todos bien $0$ o $1$, $\limsup_{k\to\infty} a_k$ es $1$ si y sólo $a_k=1$ para infinidad de $k$, y es $0$ lo contrario.

Answer 3

Para una secuencia de conjuntos de $E_{1},E_{2},\ldots$ definir su límite superior por $$ \limsup_{n}E_{n}=\bigcap_{n\geq1}\bigcup_{m\geq n}E_{m}. $$ Compare esto con la definición del límite superior de una secuencia de números de $x_{1},x_{2},\ldots$ $$ \limsup_{n}x_{n}=\sup_{n\geq1}\inf_{m\geq n}x_{m}. $$ De las definiciones anteriores, aunque son similares, no son el mismo. En particular, $\limsup_{n}E_{n}$ es un conjunto, mientras que $\limsup_{n}x_{n}$ es un número.

Vamos a demostrar que $\limsup_{n}E_{n}=E$ donde $$ E=\left\{ x\colon x\in E_{n}\text{ infinitamente muchos }n\right\} . $$

Supongamos $x$$E$. Por definición, existen enteros positivos $n_{1}<n_{2}<\cdots$ tal que $x$ $E_{n_{k}}$ todos los $k$. Ahora, vamos a $n$ ser arbitraria. Desde $n_n \geq n$$x$$E_{n_n}$, se deduce que el $x$ $$\bigcup_{m\geq n} E_{m} = E_n \cup E_{n+1} \cup \cdots \cup E_{n_n} \cup E_{n_n+1} \cup \cdots$$ Desde $n$ fue arbitraria, $x$$\limsup_{n}E_{n}$.

Se puede completar el argumento para conversar?

Answer 4

En primer lugar, creo que usted no está seguro de cuál es el límite de { una secuencia de conjuntos } es. Es un concepto similar al de una secuencia de números reales. Sin embargo, no es el mismo!

Lo que yo creo que visualmente es un conjunto, como un círculo (diagrama de Venn), un conjunto E es contenida por un conjunto $E_1$, $E_1$ es contenido por $E_2$, y así sucesivamente. y todos los conjuntos que están aumentando gradualmente y plantear un conjunto de $E_k$ cual es el límite .

Lo que está en $E_k$?,es decir {x: x $\in E_{k}$,para una infinidad de k}. También podemos escribir como los sindicatos de todos los conjuntos.

En segundo lugar, lim sup $E_k$ sólo puede ser simplificada como un límite para el connivence de entendimiento. si $E_k$ es el límite de una secuencia de conjuntos, es también el límite para una larga de conjuntos. esta larga pasa a ser de todos los límites superiores de $E_k$ en este caso.

Esto no es riguroso, pero espero que esto le ayudará a entender.