Quaternionic veronese Incrustación

Question

Sé que el complejo proyectiva de la línea de $\mathbb{C}P^1$ puede ser integrado en el complejo espacio proyectivo $\mathbb{C}P^n$ (Veronese incrustación de objetos). Por ejemplo, $\mathbb{C}P^1\rightarrow\mathbb{C}P^3$ está dada explícitamente por $(z,w)\mapsto(z^3,z^2w,zw^2,w^3)$ en coordenadas homogéneas.

Me preguntaba si podría hacerse lo mismo con quaternionic espacios proyectivos, es decir, hay un 'veronese tipo' incrustación: $\mathbb{H}P^1\rightarrow\mathbb{H}P^n$ ??

(Sé que la no-conmutatividad de cuaterniones hacer la veronese mapa mal definidos)

Answer 1

Veronese incrustación es la restricción de Segre incrustación en la diagonal, por lo que vamos a hablar de quaternionic Segre incrustaciones en su lugar. Ahora tengo que admitir, no es una respuesta real, a solo 2 observaciones:

1. Segre incrustación $\mathbb CP^{\infty}\times\mathbb CP^{\infty}\to\mathbb CP^{\infty}$ da una estructura de un H-espacio en $\mathbb CP^{\infty}$. Pero no creo $\mathbb HP^{\infty}$ admite un H-espacio de la estructura. (Ver también Hatcher. 4L.4.)
2. Ordinario Segre incrustación $\mathbb P(V)\times\mathbb P(W)\to\mathbb P(V\otimes W)$ mapas de un par de 1 dimensiones de los subespacios para su producto tensor. Ahora, producto tensor de dos (es decir, a la izquierda) quaternionic espacios vectoriales es no un quaternionic espacio vectorial. Pero uno puede tomar el producto tensor sobre los números complejos - que se induce un mapa de $\mathbb P(V)\times\mathbb P(W)\to Gr_2(V\otimes_{\mathbb C}W)$.