Para mostrar que la imagen de$T$ se encuentra en$L^2$ y deriva su límite, intenté lo siguiente:$\|Tf\|_{2} = (\int|\int \frac{1}{x}f(y)dy|^2dx)^{\frac{1}{2}} \leq \int \sqrt{\int|\frac{1}{x}f(y)1_{[0,x]}(y)|^2dx}dy = \int_{0}^{1} \sqrt{(\frac{1}{y}-1)}|f(y)|$. Entonces probablemente usando la desigualdad de Holder, pero esto no parece funcionar. Entonces, para mostrar que no es un operador compacto, quiero construir una secuencia limitada$f_n$ donde$Tf_n$ no tiene una subsecuencia convergente.
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Para la continuidad de la $T$, también se puede comprobar el enlace por mechanandroid.
Por compacidad, sin embargo, este enlace te envía a esta pregunta, donde se muestra que $T : \mathcal{C} ([0,1]) \to \mathcal{C} ([0,1])$ no es compacto, sino $T : \mathcal{C} ([0,1]) \to \mathbb{L}^2 ([0,1])$ es compacto. Por supuesto, las funciones utilizadas, no son adecuados para mostrar la no-compacidad de $T : \mathbb{L}^2 ([0,1]) \to \mathbb{L}^2 ([0,1])$. Por lo tanto, esta cuestión no parece ser un duplicado.
Ahora, ¿qué sería de una adecuada secuencia de la función$(f_n)$? Queremos $\|f_n\|_{\mathbb{L}^2} \equiv 1$, $T(f_n)$ tan grande como sea posible (a fin de evitar la convergencia a $0$). El primero es evitar las cancelaciones en la integral, ya que esto facilita $T(f_n)$ más pequeño. Volvamos la mirada para no negativo $f_n$.
A continuación, nos gustaría poner el mayor masa posible cerca de $0$; a continuación, $\int_0^x f_n (t) dt$ va a ser bastante grande para un valor pequeño de $x$, lo que hace que $T(f_n)$ grandes. Así, un buen intento es tomar $f_n (t) := \sqrt{n} \mathbb{1}_{[0,1/n]} (t)$, que tiene unidad de la norma. Entonces:
$$T(f_n) (t) = \left \{ \begin{array}{ccc} \sqrt{n} & \text{if} & t \in [0,1/n] \\ 1/(\sqrt{n}t) & \text{if} & t \in [1/n,1] \end{array}\right. .$$
Calculamos el $\|T(f_n)\|_{\mathbb{L}^2}^2 = 1+\int_{1/n}^1 1/(nt^2)dt = 2-1/n$.
Además, $(T(f_n))_{n \geq 0}$ converge en casi todas partes a $0$, por lo que cualquier punto límite de esta secuencia debe ser $0$. Dado que la norma de $T(f_n)$ converge a $2$, esto no puede suceder, por lo $(T(f_n))_{n \geq 0}$ no tiene ningún punto límite.
Joel
Puntos
304
Demostremos que$T$ es un operador limitado, y$\|T\| \leq 2$.
Por densidad, es suficiente mostrar que $$ (1) \ qquad \ | Tf \ | _2 \ leq 2 \ | f \ | _2 \ qquad \ forall f \ en C ^ \ infty_c ((0,1)). $$ Let$F(x) := \int_0^x f(y)\, dy$. Claramente,$F\in C^1$ y$F' = f$. Integrando por partes y usando Cauchy-Schwarz, tenemos ese $$ \begin{split} \|Tf\|_2^2 & = \int_0^1\frac{1}{x^2} F(x)^2\, dx = - F(1)^2 + 2 \int_0^1 f(x) \frac{1}{x}\, F(x)\, dx \\ &\leq 2 \int_0^1 f(x) \ Tf(x)\, dx \leq 2 \|f\|_2 \|Tf\|_2, \end {split} $$ para que (1) siga.
