Número de secuencias que se forman a partir de $1, 1, 1, 2,3,4,5,6$ en la que todos tres $1$s aparece antes de la $6$

Question

Quiero encontrar el número de secuencias que contiene exactamente una vez $2,3,4,5,6$ y $1$ exactamente tres veces. También los tres $1$s debe ser colocado antes de la $6$.

Ejemplo $1)1,1,1,2,3,4,5,6\2)1,2,3,4,1,1,6,5$

Creo que no puede ser $6$ en st. $1$, $2$ nd, y $3$ rd. Si fijamos $6$ en cuarto lugar luego todos tres %#% de #% se fijan en los tres primeros lugares y hay $1$ tales secuencias posibles.

¿Cómo calcular para fijar $4!$ $6$ th a $5$ º puesto?

Answer 1

SUGERENCIA: Lo explicaré por el sexto lugar y dejo el resto para usted:

Como$6$ está en el sexto lugar, quedan cinco lugares antes y tres de ellos deben llenarse con$1$. Para el resto de dos, podemos elegir entre$2,3,4,5$ con$\binom{4}{2}$ y organizarlos en esos cinco lugares con$\frac{5!}{3!}$ (ya que$1$ son idénticos). Para los lugares después del sexto lugar, podemos reorganizarlos con$2!$, de modo que si$6$ está en el sexto lugar, hay$$\binom{4}{2}\cdot\frac{5!}{3!}\cdot2!$ $ maneras.

Answer 2

Aquí están algunos de los enfoques más simples.

Método 1: Coloque el $2$, $3$, $4$, y $5$ en $$\binom{8}{4}4! = \frac{8!}{4!}$$ ways. Once you have done so, there is only one way to place the three $1$s and $6$ in the remaining positions so that all the $1$s appear before the $6$.

Método 2: Elegir cuatro posiciones de los tres $1$s y $6$, que se puede hacer en $\binom{8}{4}$ maneras. Sólo hay una manera para organizarlas en estas posiciones, de manera que todas las $1$s aparece antes de la $6$. El resto de los cuatro distintos números pueden ser colocados en las cuatro posiciones restantes en $4!$ maneras. Por lo tanto, hay $$\binom{8}{4}4! = \frac{8!}{4!}$$ admisible disposiciones de los números.

Método 3: en Primer lugar, contamos el número de distinguible arreglos, luego usar la simetría para determinar el número admisible de los arreglos.

Número de distinguible arreglos: Elija tres de las ocho posiciones de la $1$s, que se puede hacer en $\binom{8}{3}$ maneras. El resto de los cinco distintos números pueden ser colocados en los restantes cinco posiciones en $5!$ maneras. Por lo tanto, el número de distinguible de los arreglos de $1, 1, 1, 2, 3, 4, 5, 6$ es $$\binom{8}{3}5! = \frac{8!}{4!}$$

Número de admisible arreglos: Por simetría, en una cuarta parte de estos acuerdos se la $6$ aparecen después de los tres $1$s. Por lo tanto, el número de arreglos es admisible $$\frac{1}{4}\binom{8}{3}5! = \frac{8!}{4!}$$

Answer 3

1. Crea la secuencia inicial:$\_1\_1\_1\_6\_$.
2. Permute los números restantes. ¡Hay 4! formas de hacer esto.
3. Tenga en cuenta que hay 5 lugares donde puede poner los 4 números restantes (los lugares se pueden seleccionar varias veces). Después del método de barras y estrellas hay$\binom{5+4-1}{4}=\binom{8}{4}$ formas de seleccionarlos.
4. Finalmente, hay$$4!\binom{8}{4}$ $ maneras de seleccionar la secuencia requerida.