Un ejemplo de un grupo con una topología

Question

Conoces un ejemplo de un grupo con una topología satisface ambas las condiciones siguientes

1. el producto es separadamente continua pero no conjuntamente continua
2. la inversión del mapa es continuo.

Answer 1

Tome, por ejemplo, $(\mathbb{Q},+)$, dotado de la topología de Zariski (es decir, un conjunto no vacío $A$ es abierto si y solamente si es finito $A^\complement$). La inversión ($x\mapsto-x$) es claramente continua y además es claramente por separado continua. Pero es no conjuntamente continua ya que, por ejemplo ${(x,y)\in\mathbb{Q}^2\,|\,x+y=0}$ no es un conjunto cerrado.

Answer 2

Que $G$ ser cualquier grupo de infinito y la topología del cofinite. Entonces el producto es separadamente continuo como es la inversión, ya que cualquier biyección $G\to G$ es continua. Pero el producto no es conjunta continuo, puesto que ${1}$ está cerrada pero no es su preimagen. (O sólo puede citar el hecho de que cualquier grupo topológico $T_0$ es Hausdorff, así $G$ no puede ser un Grupo topológico).