Las "multiplicaciones" no triviales en $\mathbb{R}^2$

Question

Cuáles son todos los mapas binarios continuos y asociativos $M: \mathbb{R}^2 \times \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2$ que satisfagan $M(x,y+z) = M(x,y) + M(x,z)$ ?

Además de la función constante 0, y el mapa multiplicativo de identidad $M((x_0,x_1),(y_0,y_1)) = (x_0y_0, x_1y_1)$ La teoría de los números complejos ofrece nuestro primer ejemplo no trivial: $M((x_0,x_1),(y_0, y_1)) = (x_0y_0-x_1y_1, x_0y_1+x_1y_0)$

¿Cómo encontrar el resto? ¿Si hay alguno? Plantear esto como un sistema de dos ecuaciones funcionales (asociatividad, distributividad sobre adición) parece una dirección natural pero me falta maquinaria para convertirlo en una solución general.

---

Según el enfoque de las ecuaciones funcionales: buscamos soluciones al siguiente sistema de ecuaciones

$$M(x,M(y,z)) = M(M(x,y),z)$$ $$M(x,y+z) = M(x,y)+M(x,z)$$

Answer 1

Dejemos que $z=a+bi$ con $b\ne0$ . Entonces $\mathbb C=\mathbb R[z]$ . En particular, $1,z$ es una base para $\mathbb C$ en $\mathbb R$ . En esta base, la multiplicación viene dada por $$ \begin{align} (x_1,y_1)(x_2,y_2) &=(x_1+y_1 z)(x_2+y_2 z) \\&=x_1 x_2 + y_1 y_2 z^2 +(x_1 y_2 +x_2 y_1)z \\&=(x_1 x_2 - y_1 y_2(a^2+b^2))+(x_1 y_2 +x_2 y_1+2a)z \\&=(x_1 x_2 - y_1 y_2(a^2+b^2),x_1 y_2 +x_2 y_1+2a) \end{align} $$