Estoy trabajando a través de los Principios de la Topología y no puedo envolver mi cabeza alrededor de cómo $0$ es un punto límite de $\{1/n\}_{n=1}^{\infty}$. Para referencia, esto es, en la página 44 de la edición de 2016.
El libro proporciona la siguiente definición/teorema y prueba:
Definición: Un punto x en $\mathbb{R}$ es un punto límite o punto de acumulación de un subconjunto a de $\mathbb{R}$ a condición de que cada conjunto abierto que contiene x contiene un punto de un distinto de x.
Teorema 2.9: Un número real x es un punto límite de un subconjunto a de $\mathbb{R}$ si y sólo si $d(x, A\setminus\{x\}) = 0$.
Prueba: Supongamos primero que x es un punto límite de Una y deje $\epsilon$ ser un número positivo. A continuación, el conjunto abierto $(x-\epsilon, x+\epsilon)$ contiene un punto y de Una distinta de x. Desde $y\in(x-\epsilon,x+\epsilon)$,$d(x,y) < \epsilon$$d(x, A\setminus\{x\}) < \epsilon$. Desde la última desigualdad se cumple para todos los $\epsilon>0$,$d(x, A\setminus\{x\}) = 0$.
Supongamos ahora que $d(x, A\setminus\{x\}) = 0$ y considerar un conjunto abierto S que contiene a x. Entonces S contiene un intervalo abierto $(x-\delta, x+\delta)$ para un número positivo $\delta$. Desde $d(x, A\setminus\{x\}) < \delta$ y el intervalo de $(x-\delta, x+\delta)$ consiste, precisamente, de todos los puntos a una distancia de menos de $\delta$ a partir de x, entonces $(x-\delta, x+\delta)$ debe contener un punto z en el $A\setminus\{x\}$. Así
$$z \in (x-\delta, x+\delta) \subset O$$
y $z \neq x$ desde $z\in$ $A\setminus\{x\}$. Por lo tanto cada conjunto abierto que contiene x contiene un punto de Una distinta de x, y x es un punto límite de A. $$\tag*{$\Cuadro de$}$$
Además, el libro define la distancia entre un número real y un no-vacío es subconjunto de a $\mathbb{R}$ como: $$d(a, B) = glb\{|a-b|:b \in B\}$$
y ofrece un par de ejemplos, por ejemplo:
- $d(0, [1,2]) = d(0, (1,2)) = 1$
- $d(1, [1,2]) = d(1, (1,2)) = 0$
Tan lejos, tan bueno. El libro señala a continuación:
$0$ es el único punto límite de $\{1/n\}_{n=1}^{\infty}$. Nota que en este caso el punto límite exterior del conjunto.
Mi pregunta es... ¿cómo? Decir $x = 0$ y elige $\epsilon = 3$, y de seguir a lo largo de la prueba: $$(x-\epsilon, x+\epsilon) = \{x \in \mathbb{R}: (x-\epsilon) < x < (x+\epsilon)\}$$
lo que, ciertamente, no contiene un punto de $y = 1$ donde$y \in \{1/n\}_{n=1}^{\infty}$, $y$ distinta de la $x$.
Lo que no entiendo: si $A = \{1/n\}_{n=1}^{\infty}$, ¿qué $d(x, A\setminus\{x\}) = 0$?
Como lo que yo puedo decir, ya que $0 \notin A$, $A\setminus\{x\}$ es equivalente a $\{1/n\}_{n=1}^{\infty}$, y la distancia entre el$0$$A$$1$:
$$d(0, [1, \frac 12, \frac 13, \frac 14 ...)) = 1$$
¿Qué podría estar perdiendo aquí?
