¿Hay conflicto entre la ley de medio excluido y "ningún conjunto es su propio miembro"?

Question

Y si sí, entonces ¿cómo puede ser resuelto?

Que yo sepa en el estándar de la teoría de conjuntos es cierto que "no hay ningún conjunto es su propio miembro". También en la norma de la lógica de la ley de medio excluido es cierto, $A$ o $\lnot A$.

Ahora vamos a considerar la simple frase de "Entidad $X$ es un número real o no un número real". Esto puede ser reformulado en términos de la teoría de conjuntos como "Elemento $x$ pertenece a establecer $\mathbb{R}$ o para establecer la no-$\mathbb{R}$".

Parece una tautología, ¿no? Pero voy a demostrar que eso no es porque no hay una cosa que no es un miembro de cualquiera de ellos. Es decir, es un "no-$\mathbb{R}$". Esto no puede pertenecer a set $\mathbb{R}$ porque no es un número real. Esto también puede no pertenecer al conjunto de no-$\mathbb{R}$ (es decir, no puede pertenecer a sí mismo) debido a que "no hay ningún conjunto es su propio miembro". Por lo tanto, "el Elemento $x$ pertenece a establecer $\mathbb{R}$ o para establecer la no-$\mathbb{R}$" no es una tautología.

Answer 1

Esto es similar a la paradoja de Russell.

El enfoque habitual es echarle la culpa en el principio de la irrestricta de la comprensión — la hipótesis de que para cualquier propiedad $P$ de los conjuntos, no es un conjunto de todo, la satisfacción de $P$.

ZFC reemplaza esto con el más modesto de la hipótesis de que si eres además de un conjunto $S$, entonces usted puede formar el conjunto de todo lo $S$ satisfacción $P$.

En particular, en la formulación habitual de la moderna teoría de conjuntos, lo que llamo "no R" no es un conjunto. (c.f. ", que es propio de la clase")