Cuarto Orden no Lineal de la educación a distancia

Question

Yo estaba mirando una oda $w^{(4)} + w^3 = 0$ con condiciones iniciales $[w'''(0),w''(0),w'(0),w(0)]=[1,0,0,0]$. Puedo ver a través de maple que hay una explosión alrededor de 3.7. Me preguntaba si había una manera de mostrar que hay una ampliación sin necesidad de utilizar un ordenador, o si alguien me podría dirigir a algunos de los materiales sobre cómo probar imágenes ampliadas. Estoy teniendo problemas para encontrar literatura sobre el mismo. Muchas gracias por su consideración.

Answer 1

Por lo general, si su ODA es susceptible a la búsqueda de una solución utilizando la serie, entonces el radio de convergencia (ROC) de la serie indica que hay una singularidad a una distancia de la república de china desde el momento inicial. Una singularidad podría ser un polo de "blow up" -- o puede ser una singularidad esencial, como cada vez más salvaje de oscilación en más corto y escalas de tiempo más cortas. Si la ROC es infinito, no hay singularidades, y esperamos una solución para todos los tiempos.

Para una solución de la serie, supongo que en la forma de la respuesta, sustituimos en la educación a distancia, e igualamos los coeficientes de orden.

Para esta ODA, podríamos adivinar $$w(t) = t^{-2} \sum_0^\infty a_n t^n$$ because the indicial-like equation gives $r=-2$. (Digo "indicial" debido a que esta ecuación no es lineal.) La raíz entera (no fraccionada) significa el uso de la serie de Laurent. OTOH, el finito condiciones iniciales significan dos negativos de orden Laurent coeffiecients son cero, y tenemos un viejo y simple serie de Taylor. Plug and play: sustituir este formulario en la educación a distancia y de ICs, y equiparar los términos semejantes.

Para el ICs especificado, usted va a terminar con la mayoría de los términos se $0$, y una forma como $$w(t) = t^3 \sum_0^\infty b_n t^{10n}$$. From there the algebra gets hairy because of the cube term. The Cauchy product means the recurrence relation among coefficients involves terms of all order. I'm not sure it's possible to find a closed-form expression for the coefficients in terms of $n$. But if you could find such an expression, you could use the ratio test or root test to find the ROC of the series. The first few terms are $$w(t) = \frac{1}{6}t^3 - \frac{1}{3706560}t^{13} + \frac{1}{9452617574400}t^{23} - \frac{1}{21722750401872199680}t^{33} + \frac{661}{37638496964414476201623552000}t^{43} - \frac{405469}{66922504728527550129991809682636800000}t^{53} + \ldots$$

Yo no era capaz de encontrar una expresión de mí mismo, pero creo $b_n$ es asintóticamente $Cn\lambda^n$. Hice algunos experimentos en los primeros cien coeficientes, y que se ajuste a ese patrón muy de cerca. Un ajuste da $\lambda \approx \exp(15.068)$. Eso significaría que el radio de convergencia de la serie es $\exp(1.5068)\approx 4.512$.

No me sorprendería si hay un truco para este problema, una forma elegante de transformación para mostrar la naturaleza del crecimiento. También sospecho que la ecuación es integrable, pero sólo pudo encontrar una forma exacta para la tercera derivada.

Por CIERTO, sólo por curiosidad: ¿de dónde vino este problema?

Answer 2

La solución es $$ w(t)=1 + \frac{t^4}{24} + \frac{t^8}{13440} + \frac{73 t^{12}}{159667200} + \frac{491 t^{16}}{232475443200}+\cdots $$

Tal vez usted podría estimar el deterioro de los coeficientes de la serie y, a continuación, calcular su ratio de convergencia.

Answer 3

Hay una solución explícita que estallaba en tiempo finito. Es dado por $w=\frac{2 i \sqrt{30}}{(t-t_0)^2}$ donde $t_0$ es una conexión constante.