¿Cómo obtener el logaritmo de este integral numérica?

Question

<blockquote> <p>Evaluar $\int_0^1\frac{dx}{1+x}$ usando la regla trapezoidal para la integración y por lo tanto, encontrar el valor de $\log(2)$.</p> </blockquote> <p>He resuelto la primera parte con un intervalo de 0.125 y obtenidos: $\int_0^1\frac{dx}{1+x} ≈ 0.694075$. Sin embargo, ¿cómo averiguo el valor de $\log(2)$ en este contexto?</p>

Answer 1

Ya tienes el valor de $\log(2)$. ¡Felicidades!

Sugerencia:

$$\int_0^1\frac{\mathrm{d}x}{1+x}=\log(2)$$

Así que ahí tiene su contexto y lo que has encontrado es el valor de la integración, es decir $\log(2)$ mediante métodos numéricos (regla Trapezoidal).

Answer 2

$$\int_a^b \frac{1}{1+x}dx=\log_e(1+x)|_a^b=\log_e(1+b) - \log_e(1+a)=\log_e\frac{1+b}{1+a}$$

Para $a=0$ e $b=1$ esto va a $\log_e2$

Esa es mi respuesta.

Pero ... si quieres saber por qué $\int_a^b \frac{1}{1+x}dx=\log_e(1+x)|_a^b$ entonces aquí está la respuesta a esa pregunta.

Tenemos que trabajar hacia atrás, así que vamos a empezar con: $$y=\log_e(1+x)$$ Usando las leyes de los índices:

$$1+x=e^y$$ Differentiate both sides with repect to $x$: $$1=e^y \frac{dy}{dx}$$ Divide both sides by $e^y$: $$\frac{1}{e^y}=\frac{dy}{dx}$$ We know that $e^y =1+x$ so let's sub that in: $$\frac{1}{1+x}=\frac{dy}{dx}$$ Multiply both sides by $dx$: $$\frac{1}{1+x}dx=dy$$ Integrate both sides from $x=$ to $x=b$: $$\int_a^b \frac{1}{1+x}dx=\int_{y(a)}^{y(b)} dy$$ Left hand side is what we want, just integrate the right hand side: $$\int_a^b \frac{1}{1+x}dx=y|_{y(a)}^{y(b)}$$ We already have an expression for $y$ which we defined at the beginning, so let's sub that in: $$\int_a^b \frac{1}{1+x}dx=\log_e (1+x) |_a^b$$ Esta es la necesaria relación.

Answer 3

Usted podría simplemente traducir horizontalmente por $1$ a la derecha:

$\frac{1}{1+x}$ es la misma entre $0$y $1$ $\frac{1}{x}$ entre $1$y $2$.

Por lo tanto:

$$\int_0^1\frac{\mathrm{d}x}{1+x}=\int_1^2\frac{\mathrm{d}x}{x}$$

Que es $\log(2)$ por definición.