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¿En qué momento del mundo real comprobamos si los conjuntos son espacios vectoriales o no? Los ejemplos anteriores parecen conjuntos muy específicos...
¿Hay algún lugar donde hayamos redefinido la multiplicación escalar así?
Nunca tienen para demostrar que algo es un espacio vectorial en la vida real. Es posible que quiere para demostrar que algo es un espacio vectorial, porque los espacios vectoriales tienen una cantidad simplemente enorme de teoría demostrada sobre ellos, y el hecho no trivial que desea establecer sobre su objeto específico podría reducirse a un resultado mucho más general y conocido sobre los espacios vectoriales.
Este es mi ejemplo favorito. Sigue siendo un poco artificial, pero llegué a él por simple curiosidad, más que por algún curso, o por la búsqueda de un ejemplo.
Considere el rompecabezas lógico aquí . Es un clásico. Tiene un $5 \times 5$ cuadrícula de cuadrados, coloreados en blanco o negro. Cada vez que pulsas un cuadrado, éste y los (hasta cuatro) cuadrados adyacentes cambian de negro a blanco o de blanco a negro. Tu trabajo consiste en pulsar los cuadrados de tal manera que acabes con todos ellos en blanco.
Entonces, mi pregunta es, ¿puedes formar cualquier configuración de cuadrados blancos y negros presionando estos cuadrados? Dicho de otro modo, ¿es cualquier $5 \times 5$ ¿la cuadrícula de cuadrados blancos y negros es un rompecabezas válido con una solución válida?
Pues bien, resulta que esto puede responderse fácilmente utilizando el álgebra lineal. Formamos un espacio vectorial de $5 \times 5$ matrices cuyas entradas están en el campo $\mathbb{Z}_2 = \lbrace 0, 1 \rbrace$ . Representamos los cuadrados blancos con $0$ y cuadros negros con $1$ . Este espacio vectorial es finito y contiene $2^{25}$ vectores. Obsérvese que cada vector es su propia inversa aditiva (como ocurre con cualquier espacio vectorial sobre $\mathbb{Z}_2$ ).
También hay que tener en cuenta que la base estándar habitual, formada por matrices con $0$ en todas partes, excepto en una única $1$ en una entrada, forma una base para nuestro espacio vectorial. Por lo tanto, la dimensión del espacio es $25$ .
Pulsar cada casilla corresponde a añadir una de $25$ vectores al vector actual. Por ejemplo, si se pulsa el cuadrado superior izquierdo se añadirá el vector
$$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.$$
Tratamos de encontrar, por tanto, una combinación lineal de estos $25$ vectores que se sumarán al vector actual (recuerde $-v = v$ para todos nuestros vectores $v$ ).
Así que, mi pregunta que le planteé, se reduce a preguntar si estos $25$ vectores abarcan el $25$ -espacio dimensional. Debido a los resultados estándar en álgebra lineal de dimensión finita, esto es equivalente a preguntar si el conjunto de $25$ vectores es linealmente independiente.
La respuesta es que no, no son linealmente independientes. En concreto, si pulsas los botones resaltados en la siguiente imagen, obtendrás de nuevo la cuadrícula blanca, es decir, la identidad aditiva.
Por lo tanto, tenemos una combinación lineal no trivial de los vectores, por lo que son linealmente dependientes, y por lo tanto no se extiende . Es decir, deben existir ciertas configuraciones que no se pueden alcanzar, es decir, hay rompecabezas inválidos sin solución.
La dependencia lineal la descubrí jugando yo mismo al juego, y notando algunas de las asimetrías de las soluciones generadas automáticamente, incluso cuando el problema en sí era simétrico. Demostrar la dependencia lineal es tan fácil como mostrar la imagen anterior. Sin embargo, ¡todavía no conozco una forma elegante de encontrar un ejemplo de un rompecabezas que no pueda ser resuelto! Por lo tanto, mi prueba es algo no constructiva, y muy fácil si sabes algo de álgebra lineal, y estás dispuesto a demostrar que un conjunto es un espacio vectorial.
Los espacios vectoriales, y los conjuntos similares a los espacios vectoriales, aparecen en muchos lugares. El ejemplo concreto aquí es artificial, sí, pero pretende mostrar que hay que tener cuidado al comprobar si un conjunto de objetos vectoriales, junto con dos operaciones (suma de vectores y multiplicación escalar), es realmente un espacio vectorial o no.
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