¿Está conectado el producto de fibra del componente conectado de un esquema de grupo?

Question

Permita que$G$ sea un esquema de grupo sobre un campo$k$. Deje$G^0$ ser el componente conectado que contiene la identidad. ¿Es cierto que$G^0\times_k G^0$ está conectado?
Sé que esto es cierto si$G^0$ está geométricamente conectado, pero ¿cómo demostrarlo en general?

Answer 1

Gracias a alguna ayuda externa, descubrí la respuesta a la pregunta. En realidad, todo lo que necesitaba estaba aquí http://stacks.math.columbia.edu/download/varieties.pdf .
Dado que la identidad es un$k$ - punto racional contenido en$G^0$ y este está conectado, podemos aplicar el Lema 5.14 . Entonces$G^0$ está geométricamente conectado, esto nos permite concluir usando el Lema 5.4 .