Confusión de producto interno y notación vectorial

Question

Cada vez me confundo más con la notación $< , >$ Conozco la definición de producto interior (simplemente, producto punto) y también sé lo que es un vector.

¿Tiene dos significados diferentes que no tienen nada que ver?

Por ejemplo, podemos definir algún vector $v \in \mathbb{R}^2$ como $<i,j>$ Entiendo el significado y el contexto que hay detrás de esto.

Pero, ahora toma el teorema de la desigualdad de gradiente.

$f(x) \geq f(y) + <\Delta f(y), x-y>$ ¿Qué dice exactamente la notación aquí?

Es $<\Delta f(y), x-y>$ es sólo una forma abreviada de expresar el límite para $\frac{f(y+t(x-y))-f(y))}{t}$ ? ¿Tiene algo que ver con el producto punto en este caso?

¿Tiene esta notación un significado completamente diferente según el contexto?

Answer 1

Aunque el uso de paréntesis a la izquierda y a la derecha es una notación común en la mayoría de las introducciones al álgebra vectorial y al cálculo, nunca he visto que se utilice en un libro de texto de matemáticas avanzadas. En su lugar, los autores prefieren utilizar $(a,b,c)$ o $a{\bf e}_1+b{\bf e}_2+c{\bf e}_3$ para los vectores (el ${\bf e}$ son los vectores base estándar para $\mathbb{R}^3$ --a veces las ves escritas como ${\bf i}, {\bf j}, {\bf k}$ ). Los corchetes $\langle \cdot,\cdot\rangle$ se reservan, en efecto, para el producto interior (que no es más que el producto punto en $\mathbb{R}^n$ ) en la mayoría de los cursos de introducción a las matemáticas.

Asumiendo entonces que $f: \mathbb{R}_{uv}^2\to\mathbb{R}$ y que $x=(x_1, x_2)$ , $y = (y_1, y_2)\in\mathbb{R}^2$ la expresión de la desigualdad del gradiente sería $$ \langle \nabla f(y), x-y\rangle = \left(\frac{\partial f(y_1, y_2)}{\partial u}, \frac{\partial f(y_1,y_2)}{\partial v}\right)\cdot (x_1-y_1, x_2-y_2) = \frac{\partial f(y_1,y_2)}{\partial u}(x_1-y_1)+\frac{\partial f(y_1,y_2)}{\partial v}(x_2-y_2).$$