La parte real tratada como un ángulo en espacios vectoriales complejos

Question

En mis clases me encuentro a menudo con el uso de la parte real de, por ejemplo, un producto escalar de dos vectores similar a los ángulos en geometría clásica. Por ejemplo, en la teoría del espacio de Hilbert:

Sea $H$ sea un espacio de Hilbert, $C \subset H$ sea convexa y cerrada. Para $x_0 \in H$ , $x \in C$ es la mejor aproximación de $x_0$ por $C$ si $\forall y \in C : Re \langle x - x_0, y - x_0 \rangle \leq 0$

Por mucho que sea intuitivo (y la prueba en sí no suponga ningún problema), no sé cómo interpretar esto. Así que la pregunta (no necesariamente relacionada con el teorema de ejemplo anterior) es

¿Existe alguna interpretación útil de la parte real de un producto escalar en espacios vectoriales complejos?

si no lo hay, en el mejor de los casos la parte real sólo se utiliza por conveniencia, y el autor de mi libro quiere captar un concepto más general. - en el peor de los casos, no existe tal interpretación.

Answer 1

Creo que es una noción similar a la de ángulo en espacios reales, pero no se le puede llamar así. Sin embargo, he visto a algunos autores hacerlo.

La relación entre ángulos y longitudes en espacios vectoriales reales viene dada por la fórmula

$$\lVert v+w \rVert^2 = \lVert v \rVert^2 + \lVert w \rVert^2 + 2\langle v, w\rangle.$$

En efecto, si definimos

$$\cos \theta_{v, w} \lVert v \rVert \lVert w \rVert= \langle v, w \rangle,$$

recuperamos el conocido ley de los cosenos

$$\lVert v+w \rVert^2=\lVert v \rVert^2 + \lVert w \rVert^2 +2\cos \theta_{v, w} \lVert v\rVert \lVert w \rVert.$$

Esta última fórmula es válida en un espacio vectorial complejo si definimos

$$\cos \theta_{v, w} \lVert v \rVert \lVert w \rVert= \text{Re} \langle v, w \rangle.$$

Esta es una de las razones por las que podríamos llamar "ángulo" a este número $\theta_{v,w}$ . Otra razón viene dada por la observación de Arturo más arriba: por ejemplo, la fórmula

$$ \text{Re} (v \overline{w}), \quad v, w \in \mathbb{C}$$

nos da el producto punto real si $\mathbb{C}$ se identifica con el plano euclidiano.

Sin embargo, existen inconvenientes: el más llamativo (en mi opinión) es que los vectores paralelos pueden tener ángulo cero . Tome cualquier $v$ y poner $w=i v$ . Entonces $\text{Re}\langle v, w \rangle=0$ pero, ¿los llamarías ortogonal ?

Answer 2

V y w no son paralelas, sino que tienen un ángulo de 90 grados respecto al coeficiente i. Por lo tanto, está bien llamarlas ortogonales.