$\lim_{x \to x_0}{\frac{\arcsin x-\arcsin x_0}{x-x_0}}=?$

Question

Tengo el siguiente problema:

$$ \lim_{x \to x_0}{\frac{\arcsin x-\arcsin x_0}{x-x_0}}=\text{?} $$

Lo que tengo:

Deje $x=\sin t$. Entonces el problema se convierte en:

$$ \lim_{t \to t_0}{\frac{t-t_0}{\sen t\pecado t_0}} = \lim_{t \to t_0}{\frac{\frac{t-t_0}{2}}{\sin (\frac{t-t_0}{2}) \cos{\frac{t+t_0}{2}}}}=\lim_{t \to t_0}{\frac{1}{\cos(\frac{t+t_0}{2})}}=\frac{1}{\sqrt{1-\sin^2(t_0)}} $$

Así que estoy un poco atascado aquí. Yo no soy muy bueno con las fórmulas trigonométricas. Suponiendo hasta ahora la solución es correcta, ¿cómo puedo seguir desde aquí?

Gracias de antemano!

Answer 1

ps

Ahora $$\sin2C-\sin2D=2\sin(C-D)\cos(C+D)$

Ver también: pregunta sobre el límite$\lim_{t\to t_0}\cos\dfrac{t+t_0}2=\cos\dfrac{t_0+t_0}2$

Answer 2

Es la misma definición de la derivada del seno de la función inversa:

$$ \lim_{x \to x_0}{\frac{\arcsin x-\arcsin x_0}{x-x_0}} $$

$$ = \frac{d(arcsin x)}{dx}= \frac{1}{\sqrt {1-x^2}}$$

$$ =\frac{\pm 1}{\sqrt {1-x_0^2}},\,$$

EDIT1:

evaluados en $x=x_0.$ Doble signo es aplicable, el signo se toma positivo si en la parte roja, negativo para la parte azul de $f(x)$ e infinito de la pendiente en $x=\pm 1$ trigonométricas inversas función es periódica y sin límites, sólo algunas partes se muestran. Disculpas, la parte inferior de la mayoría de función arcsen $(f< \pi/2)$ incorrectamente es de color rojo, debe ser azul.