Propiedades de la norma cuadrada en espacios de Banach

Question

Deje $X$ ser un espacio de Banach con su doble $X^*$. Considerar la asignación de $f: X\rightarrow \mathbb{R}$ dada por $$ f(x)=\frac{1}{2}\|x\|^2. $$ Hemos de saber que cuando $X$ es un verdadero espacio de Hilbert ( $X=X^*$ ), a continuación, $f$ es fuertemente convexo con el módulo de $\lambda=1$, es decir, $$ \alpha f(x)+(1-\alpha)f(y)\geq f(\alpha x+(1-\alpha)y)+\frac{\alpha(1-\alpha)}{2}\|x-y\|^2 $$ para todos los $x, y\in X$$\lambda\in [0, 1]$. Por otra parte, $f$ es Frechet diferenciable y $$ \nabla_F f(x)=x\quad \forall x\in X. $$ No sé, además de espacio de Hilbert, ¿qué clase de espacios de Banach tenemos dos propiedades anteriores (Frechet la diferenciabilidad y fuerte convexidad de la función $f(x)$.

Me gustaría dar las gracias por todos los comentarios constructivos, ayudar y señalando las referencias relacionadas con este problema.

Nota.

• Si $X^*$ es estrictamente convexa $f(x)=\frac{1}{2}\|x\|^2$ Tartas es diferenciable y $$ \nabla_G f(x)=\{x^*\X^*: \|x^*\|^2=\|x\|^2=\langle x^*, x\rangle\}; $$
• Si $f(x)$ es fuertemente convexo, con una constante $\lambda=1$ $X$ es un espacio de Hilbert.

Answer 1

Los espacios de Fréchet diferenciable norma generalmente son llamados Fréchet suave espacios... que por supuesto es sólo un nombre. Šmulian dio una útil en la caracterización de esta propiedad: se cumple si y sólo si para cada vector unitario $x$ y cada secuencia de la unidad funcionales $f_n$ tal que $f_n(x)\to 1$, la secuencia de $\{f_n\}$ es la norma-convergente.

El más fuerte de la propiedad de tener uniformemente continua derivada de Fréchet el cuadrado de la norma admite una sencilla caracterización: es equivalente a la de espacio uniforme y suave (por lo tanto, también equivalente a la doble espacio uniformemente convexo).

La propiedad de fuerte convexidad cantidades a la norma de ser uniformemente convexo con cuadrático módulo de convexidad. Esto es un poco más fuerte que el simple estar uniformemente convexo.

Ejemplos de los espacios que satisfagan a ambas propiedades: $L^p$$\ell^p$$1<p\le 2$. (Para $2<p<\infty$, el espacio es uniforme y suave y uniformemente convexa, pero el módulo de convexidad tiene poder escriba $p$, no $2$.)

Lectura sugerida:

1. Deville, R., Godefroy, G. y Zizler, V. (1993). La suavidad y la renormings en espacios de Banach, Pitman Monografías y Encuestas en Puras y Aplicadas Matemáticas, 64.
2. Fabián, M., Montesinos, V. y Zizler, V. Suavidad en espacios de Banach. Problemas seleccionados.