Submódulo de un módulo libre sobre un anillo polinómico Laurent

Question

Permitir$R=\mathbb{\mathbb{C}}[x_1^{\pm1}, \cdots, x_n^{\pm 1}]$,$M$ un% libre $R$ - módulo que al mismo tiempo es un$R$ - álgebra (lo que significa que contiene la identidad). Deje$N$ ser un$R$ - subálgebra. ¿Es$N$ un% libre $R$ - módulo?

Tenga en cuenta que si eliminamos la condición de álgebra, es decir, si solo asumimos que$M$ es un$R$% - module y$N$ un submódulo de$M$, entonces$N$ no es necesariamente un módulo gratuito$R$ -. Por ejemplo, si$M=R=\mathbb{C}[x_1^{\pm 1}, x_2^{\pm 1}]$, entonces el ideal$N=(x_1, x_2)$ no es libre sobre$R$.

Answer 1

En general, no es verdad. Tome$R=\Bbb{C}[x^{\pm 1}]$,$M=R^2$ con$1_M=(1,0)$ y$(0,1)(0,1)=(0,0)$. Entonces$N=\langle(1,0), (0,1+x)\rangle$ no es gratis.