Demuestre que$x^{n-1}+... +x+1$ es irreductible sobre$\mathbb Z$ si y solo si$n$ es un primo.

Question

Probé que si$n$ es primo, entonces$p(x)=x^{n-1}+\cdots+x+1$ es irreductible sobre$\mathbb Z$. Pero, no sé cómo probar que si$p(x)$ es irreductible sobre$\mathbb Z$, entonces$n$ es primo. ¿Me puedes dar algunas pistas?

Answer 1

La clave es la aplicación repetida de la fórmula de suma geométrica $$ \ sum_ {i = 0} ^ {z-1} q ^ i = \ frac {q ^ z - 1} {q-1}. $$

Conectando$z=n, q=x$ y asumiendo$n = kl$, obtenemos$$p(x) = x^{n-1} + x^{n-2} + \ldots + 1 = \frac{x^n - 1}{x-1} = \frac{x^{kl} - 1}{x-1}.$ $

La suma geométrica con$z=l$ y$q = x^k$ da como resultado$$ \ldots = \frac{x^k - 1}{x-1} (x^{(l-1)k} + x^{(l-2)k} + \ldots + 1).$ $

Y finalmente por suma geométrica con$z=k, q=x$$$ \ldots = (x^{k-1} + x^{k-2} + \ldots + 1)(x^{(l-1)k} + x^{(l-2)k} + \ldots + 1).$ $

Si$k \geq 2$ y$l \geq 2$, esta es una factorización adecuada del polinomio$p$.

Answer 2

Si$n$ no es un primo, digamos$n=ab$ con$a,b>1$, luego$q_a(x)=\frac{x^a-1}{x-1}$ es un divisor de$p(x)=\frac{x^n-1}{x-1}$, ya que cada raíz de$q_a$ es una raíz de$p$, y no hay raíces repetidas.