¿Esta serie es convergente? $\sum_{i=1}^{\infty} \frac{(\log n)^2}{n^2}$

Question

$\sum_{i=1}^{\infty} \frac{(\log n)^2}{n^2}$

Supongo que es convergente, entonces aplico la prueba de comparsión para esto.

$\frac{log^2}{n^2} < \frac{n^2}{n^2} = 1$

Por lo tanto, está limitado por 1 y, por lo tanto, es convergente.

¿Puedo hacer de esta manera? Tiene sentido, pero nunca he tratado con constante en este caso

Por lo general, hacemos un límite usando otro término dependiendo de$n$?

Answer 1

No puedes hacer eso como lo mencionó Gerry. Sin embargo, sabes que$\log^2n\leq\sqrt n$ para$n$ es lo suficientemente grande y es por eso que para un gran$n$% tienes$\frac{(\log n)^2}{n^2}\leq \frac{1}{n\sqrt{n}}$. Para las últimas series convergen.

Answer 2

No, no puedes hacerlo de esa manera. Ha demostrado que los términos están delimitados por$1$, pero eso también es cierto para la serie$1+1+1+\dots$; ¿esa serie converge?

Answer 3

Lo que hiciste está mal, ya que tienes que compararlo con el término general de una serie convergente.

Puede probar Cauchy's Condensation Test

ps

y ahora es fácil comprobar que converge$$\frac{2^nn^2\log^22}{2^{2n}}=\log^2\frac{n^2}{2^n}$ (por ejemplo, la prueba raíz n-ésima)

Answer 4

Dado que$\log n\le n-1$ para todos$n$, obtenemos$\frac{1}{4}\log n \le \sqrt[4]{n}-1\le \sqrt[4]{n}$ para todos$n$. Entonces$$\frac{\log^2 n}{n^2}\le \frac{16\sqrt{n}}{n^2}=\frac{16}{n\sqrt{n}}$ $ y sabemos que converge$\sum \frac{16}{n\sqrt{n}}$. Entonces, en comparación,$\sum \frac{\log^2 n}{n^2}$ converge.

Answer 5

Tenga en cuenta que, por la integral de la prueba

$$ \int_{1}^{\infty} \frac{(\ln(x))^2}{x^2}dx = -{\frac { \left( \ln \left( x \right) \right) ^{2}}{x}}-2\,{\frac { \ln \left( x \right) }{x}}-\frac{2}{x} \Big|_{x=1}^{\infty} =2 . $$

la serie converge.

Resultado principal: Supongamos $f$ es continua, positiva, la disminución de la función en $[1,\infty)$ y deje $a_n=f(n)$. Entonces

$(a)$ si $\int_{1}^{\infty}f(x) dx$ es convergente, entonces $\sum_{n=1}^{\infty} a_n $ es convergente.

$(b)$ si $\int_{1}^{\infty}f(x) dx$ es divergente, entonces $\sum_{n=1}^{\infty} a_n $ es divergente.