Estoy tratando de clasificar todo compactos 1-variedades. Creo que puedo hacerlo una vez que puedo mostrar que cada múltiple de 1 es orientable. He intentado Mostrar esto probar un montón de maneras pero no puedo llegar a ninguna parte.
Por favor ayuda,
Tenga en cuenta que soy no asumiendo que ya sé los dichos colectores son [0,1] o $S^1$. Esta es mi meta final.
Si ya has clasificado orientable $1$-colectores, entonces usted sabe que la única conectado (sin límite)$\mathbb R$$\mathbb S^1$. Ahora supongamos $M$ está conectado, nonorientable $1$-colector, y deje $\pi\colon \widetilde M\to M$ ser universal de la cubierta. A continuación, $\widetilde M$ es orientable y simplemente conexa, y por lo tanto homeomórficos a $\mathbb R$, e $M$ es homeomórficos a un cociente de $\mathbb R$ de la libre acción del grupo que no preserva la orientación. El último paso es mostrar que cada orientación de la inversión homeomorphism $f\colon \mathbb R\to \mathbb R$ tiene un punto fijo, lo que produce una contradicción. Por lo tanto todos los $1$-variedad es orientable.
Para un $1$-colector (no vacío) de límite, se puede aplicar el argumento anterior para el doble de $M$ (el cociente de dos copias disjuntas de $M$ obtenido por la identificación de cada punto límite en una copia con el correspondiente límite de punto en el otro).
Si entiendo correctamente tu pregunta, creo que han demostrado que todos los conectados orientables 1-colectores son $[0,1]$ y $S^1$. Ahora Supongamos que $X$ está conectado pero no orientable. $X$ Tiene un universal que cubre el espacio $\tilde X$ que es una 1-variedad pero es orientable. Ambos casos $\tilde X = [0,1]$ o $S^1$ dar una contradicción.
También puedes probar a hacer esto. Supongamos $X$ es una 1-variedad y $f:S^1 \to X$ es una orientación de la inversión ruta. Si $f$ es un buen mapeo sin puntos críticos, entonces esto es una contradicción (porque se puede tomar la imagen en $df$ de los no-desaparición de campo de vectores en $S^1$, lo que demuestra que el camino de $f$ no es la orientación de la inversión).
Ahora, para una ruta de acceso general $f$ (que puede no ser suave, o puede tener puntos críticos) debe ser posible demostrar que $f$ es homotópica a una ruta de $g: S^1 \to X$, que es suave y no tiene puntos críticos. Si esto se muestra, a continuación, $g$ también debe ser la orientación de la inversión (ya que es homotópica a $f$), y llegamos a la misma contradicción como antes.
Así, todo gira en torno a este lema: si un camino de $f: S^1 \to X$ no contráctiles, entonces es homotópica a una ruta de $g: S^1 \to X$, que es suave y no tiene puntos críticos. Tenga en cuenta que no contractibilidad es necesario aquí, pero tenemos (porque contráctiles rutas de acceso no puede ser la orientación de la inversión, que de todos modos).
La suavidad de la parte no es difícil, después de todo cada ruta puede ser aproximada con un fluido. Así que podemos suponer que la $f$ es suave desde el inicio. El problema es que $f$ puede tener puntos críticos, es decir, la ruta puede parar en varios puntos. En este punto, me temo que algunos de los trabajos técnicos que es necesario mostrar que estos puntos de parada pueden ser eliminados, ya sea por el "suavizado" (si nos detenemos y, a continuación, seguir yendo en la misma dirección), o por retracción de los callejones sin salida (si nos detenemos a ir hacia atrás). Esto se puede formalizar, pero no es bastante. La forma en que viene a la mente es introducir una métrica de Riemann en $X$ (que siempre existe) y mira seccionalmente suave rutas en las cuales cada una suave pieza de velocidad fija w.r.t. la métrica escogida. En esta configuración, es posible formalizar la idea de la eliminación de los callejones sin salida y obtener la ruta deseada sin puntos críticos.
Hay algunos desagradables trabajo técnico, estoy de acuerdo. Pero por otro lado, toda la maquinaria es visible y se pueden agarrar.
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