Contour integral de$\frac{e^{-ux}}{Ax^2+Bx+C}$

Question

Me está costando un poco resolver esto. He encontrado que los polos están en$$\frac{-B\pm\sqrt{B^2-4AC}}{2A}$$ Am I right to assume the residues can be found by this? $$\text{Res}\bigg[ \lim_{s\to \frac{-B+ \sqrt{B^2-4AC}}{2A}}\frac{(s+\frac{-B+ \sqrt{B^2-4AC}}{2A})e^{-ux}}{s(s+\frac{-B+ \sqrt{B^2-4AC}}{2A})(s-\frac{-B- \sqrt{B^2-4AC}}{2A})} \\ +\lim_{s\to \frac{-B- \sqrt{B^2-4AC}}{2A}}\frac{(s-\frac{-B+ \sqrt{B^2-4AC}}{2A})\cdot e^{-ux}}{s(s+\frac{-B+ \sqrt{B^2-4AC}}{2A})(s-\frac{-B- \sqrt{B^2-4AC}}{2A})}\bigg]$ $ Mi único problema es que esto parece un poco excesivo. ¿Hay alguna manera más simple y alternativa de encontrar el residuo aquí?

Answer 1

Usa eso

ps

Dado$$\operatorname{Res} \left(\frac{f(z)}{g(z)}; z_0\right) = \frac{f(z_0)}{g'(z_0)}$ es un polo simple y$z_0$.

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Supongamos que tenemos$f(z_0)\neq 0$ $ Si tenemos$$f(z) =\frac{e^{-uz}}{Az^2+Bz+C}$ y$z_0$ son los polos entonces

ps