Integrabilidad de una función (Darboux)

Question

Pregunta:

1. Deje $f: [a,b] \to \mathbb{R}$ y asumen $0 \leq f(x) \leq B$$x\in [a,b]$. Mostrar que $$U(f^2,P) -L(f^2,P) \leq 2B\ ( U(f,P) - L(f,P) )$$ para todas las particiones $P$$[a,b]$.

2. Mostrar que si $f$ es integrable en a $[a,b]$, entonces también lo es $f^2$ [no hay positividad de la suposición aquí].

He encontrado esta sugerencia enterrado en el archivo latex mi profe me dio.

(Sugerencia: $f(x)^2 -f(y)^2 = (f(x) + f(y)) \cdot (f(x) -f(y))$.)

No fue fácil para poner a buen uso...

$$\begin{align} U(f^2,P) -L(f^2,P) &= (U(f,p) + L(f,p)) \cdot (U(f,p) - L(f,p)) \\ &\leq (|U(f,p)| + |L(f,p)|) \cdot (U(f,p) - L(f,p)) \end{align}$$

Sabemos $|U(f,p)|\geq |L(f,p)|$, y desde $f(x) \leq B$, $|f(x)| \leq B$ para todos los $x \in [a,b]$ donde $B \in \mathbb {R}$.

Sabiendo que $|L(f,p)| \leq |U(f,p)|\leq |f(x)| \leq B$, obtenemos:

$$(B + B) \cdot (U(f,p) - L(f,p)) = 2B\ (U(f,P) - L(f,P))$$

Por lo tanto $U(f^2,P)-L(f^2,P) \leq 2B\ (U(f,P) - L(f,P))$.

Nadie está de acuerdo conmigo?

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Parte 2)

Teorema: Vamos a $f:[a,b] \to [c,d]$ ser Daraboux-integrable y $g:[c,d] \to \mathbb {R}$ ser continua. A continuación, la composición de la $g \circ f$ es Daraboux-integrable.

Deje $g=x^2$, por lo que el $g \circ f=f^2$. Desde $g$ es continua en a $[c,d]$ para todos los $c,d \in \mathbb {R}$, $f^{2}$ es integrable mientras $f$ es integrable en a $[a,b]$ por el teorema anterior.

Answer 1

$\color{red} \cdots$ $U(f,p)$ generalmente se refiere a la "parte superior de suma," no es una función de paso. En su lugar, definir dos funciones de paso $s$ $t$ más de una partición $P$ tal que $s(x) \le f(x) \le t(x)$. Deje $s$ ser máxima, mientras que todavía requieren $s(x) \le f(x)$ y deje $t$ ser mínima. A continuación, $s^2$ $t^2$ son el paso de las funciones correspondientes a $f^2$.

Su comentario de que "por lo tanto $U(f,p) \le B$" me desconcertó un poco. Usted puede simplemente a la conclusión de que $t(x) \le B$ desde $f(x) \le B$ $t$ está a un paso de la función toma valores en $f$.

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Y yo les recomiendo activar la desigualdad $[B+B]( U(f,p) - L(f,p) ) \le 2B ( U(f,p) - L(f,p) )$ en una igualdad.

Ambas partes correctas de las pruebas (si reemplazamos las instancias de $U(f,p)$ $L(f,p)$ adecuadamente con $s$$t$). Sin embargo, parece que su profesor lo desea, puede probar la segunda parte directamente de la primera. Si ese es el caso, basta con prestar atención al hecho de que $U(f,p) - L(f,p) \to 0$ como las particiones se vuelven más finos, mientras que $2B$ es una constante fija. $\color{red} *$ Pero tenga cuidado, porque usted tiene que colocar la positividad de la asunción de esta parte.

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Hay un par de versos que son innecesarios. Por ejemplo, puede escribir:

$U(f,p)|≥|L(f,p)|$ desde $f(x)≤B |f(x)|≤B$ todos los $x∈[a,b]$ donde $B∈\mathbb R$

Mientras que todas estas afirmaciones son verdaderas, y que sin duda debe mencionar $U(f,p) \ge L(f,p)$, la segunda parte es innecesaria y trivial y hace la prueba un poco desordenado (ya que lo hace sonar como la primera declaración de la siguiente manera a partir de la segunda). Así que yo recomendaría para deshacerse de la parte más allá de la "puesto que".

Usted también escribe:

$|L(f,p)|≤|U(f,p)|≤|f(x)|≤B$

Mediante el valor absoluto de los signos, ¿te refieres a tomar el valor máximo de las funciones?

Answer 2

La primera pregunta (sin positividad assumpation) es answerred aquí.

En cuanto a la segunda parte es fácil modulo resultados de la primera pregunta. Deje $\small P$ ser alguna partición de $\small P$. Desde $\small f$ es integrable entonces $$ \pequeño \lim\limits_{\mu(P)\to 0}(U(f,P)-L(f,P))=0 $$ A partir de la desigualdad de la primera pregunta que me $$ \pequeño 0\leq \lim\limits_{\mu(P)\to 0}(U(f^2,P)-L(f^2),P)\leq \lim\limits_{\mu(P)\to 0}2B(U(f,P)-L(f,P))=2B\lim\limits_{\mu(P)\to 0}(U(f,P)-L(f),P))=0 $$ Por lo tanto $\small \lim_{\mu(P)\to 0)}(U(f^2,P)-L(f^2),P)=0$. Desde la partición $\small P$ era arbitraria, esto significa que $\small f^2$ es integrable.