¿Cuáles son los "mejores" grupos para utilizar como ejemplos mientras aprenden nuevos conceptos en álgebra?

Question

Mientras que el aprendizaje de nuevos conceptos de álgebra es muy útil para comprobar algunos de los ejemplos que incluye los grupos a los que estamos familiarizados, como $\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$, $S_n$, $GL(2,\mathbb{R}), \dots$

Por ejemplo, mientras que el aprendizaje de un cociente de grupos, se puede elegir un subgrupo normal $H=\{\bar{0},\bar{2},\bar{4}\}$ de la $\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$ a comprender lo que está pasando.

Sé que mi pregunta parece subjetivo, pero creo que algunos de ustedes tienen los grupos que usted bien conoce y utiliza con frecuencia. Así que, ¿qué grupos o anillos, campos - puedes recomendar? Gracias!

Answer 1

Para una introducción a los grupos en sí, el de Rubik Grupo, el Diedro Grupos, pequeños grupos de permutación son especialmente útiles. Algunos de los ejemplos más interesantes son el de la trenza de grupos, isometría grupos, y automorphism grupos de grupos y gráficos. Cíclico Grupos también son un muy buen ejemplo.

Como para la enseñanza de conceptos en la teoría de grupo, creo que pequeños grupos finitos son la mejor idea. Para construir grandes grupos, construyendo a través de los productos (y semidirect productos) de los grupos pequeños es una buena idea.

Yo personalmente soy un fan de Visual Teoría de Grupo por Nathan Carter. En este libro se analiza un gran número de grupo, los conceptos teóricos, el uso de diagramas llamados Diagramas de Cayley, que vamos a visualizar el grupo en términos de las relaciones de sus generadores.