¿Cómo resuelvo esta integral gaussiana?

Question

Suponer

$$Z = \ int \ mathcal D [\ phi ^ *] \ mathcal D [\ phi] \ exp (\ phi ^ * A \ phi + \ phi B \ phi)$$

donde$A$ y$B$ son operadores. Sé cómo resolver una integral de ruta gaussiana que implica solo$\phi^* A \phi$ pero no sé cómo manejar el otro término cuadrático.

Answer 1

Usted sólo divide $\phi$ a la real y la parte imaginaria, para poner las cosas en claro: $$\phi = f + ig, \quad \phi^* = f-ig, \quad f,g\in{\mathbb R}$$ Hasta algunos totalmente universal factor de normalización, la integración de medida es simplemente $$\int {\mathcal D} f \,\,{\mathcal D} g$$ y el exponente en la exponencial puede ser escrito como $$[(f-ig) A + (f+ig) B] (f+ig)$$ La escritura de la columna de $(f,g)^T$$h$, el bilineal expresión anterior no es otra cosa que $$h M h$$ donde la matriz $M$ es, en un bloque-diagonal de la forma, $$M = \left(\begin{array}{cc}A+B&-iA+iB\\iA+iB&A-B\end{array}\right)$$ Ahora, supongo que se puede calcular la integral $$\int {\mathcal D} h\,\exp(hMh)$$ que es completamente análoga a la $\exp(\phi^* A \phi)$ integral. Sin embargo, con la matriz de $M$ suficiente, la integral es infinito porque $M$ es singular (infinito, debido a la plana de direcciones) porque la segunda fila (de bloques) es $i$ los tiempos de la primera. Sin embargo, usted recibirá un nonsingular resultado si el exponente también contendrá la Hermitian conjugado $\phi^* B^\dagger \phi^*$ o algo así.

Si hay algebraica de los errores anteriores, debería ser posible para solucionarlo.